Исследование функций и производные
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все тройки 
натуральных чисел, для которых
Источники:
Подсказка 1
Видно, что условие инвариантно относительно перестановки a и b. Значит, можно не умаляя общности предположить, что a ≥ b.
Подсказка 2
Давайте для упрощения обозначим bc через t, перенесём всё влево и рассмотрим выражение слева как многочлен от a.
Подсказка 3
Давайте заметим, что при a ≥ t² функция принимает только положительные значения. Значит, осталось исследовать её на отрезке [b; t² - 1].
Подсказка 4
При слишком больших t она на этом отрезке будет отрицательной, чтобы это доказать, узнайте, как располагаются экстремумы функции относительно этого отрезка и найдите её максимум на отрезке.
Из-за симметрии можно считать, что 
Положим 
и перепишем уравнение в виде 
где 
Если 
то
Если 
(а, значит, 
то при 
будет верно неравенство
Действительно, точка локального максимума:
функции 
не лежит на отрезке ![[b,t2− 1],](/api/latex-service/v1/GetSession/250941/index-9879f78a143552aa2a60482607ac0bbc.svg)
поэтому максимальное значение на данном отрезке 
принимает на его концах.
Вместе с тем, имеем
поскольку 
при 
а также
при 
Остаётся случай 
где находим тройку 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
