Тема Функции

Функции в натуральных/целых/рациональных числах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела функции

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#65395Максимум баллов за задание: 7

Функция $f(x)$ удовлетворяет при каждом значении $x$ равенству

f(x+ 2)=f(x)+ 4x +4.

Найдите $f(2012)$ , если $f(2)= 0$ .

Источники: Ломоносов-2012

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам фактически дано рекуррентное соотношение. Что оно позволяет найти, если подставить вместо x что-то удобное?

Подсказка 2

Если подставить 2, то находим f(4), потом если подставить 4, то находим f(6), и т.д.

Подсказка 3

Попробуйте записать такую подстановку x=2t в общем виде. Или же можно угадать, чему равно f(2t), и потом доказать по индукции.

Показать ответ и решение

Вычислим значение функции в произвольной чётной точке $2t$ :

f(2t)= f(2(t− 1))+4(2(t− 1))+ 4= f(2(t− 2))+ 4(2(t− 1)+2(t− 2))+4 ⋅2 =

= f(2(t− 3))+4(2(t− 1)+2(t− 2)+ 2(t− 3))+ 4⋅3= ...= f(2)+ 4(2(t− 1)+ ...+2 ⋅1)+ 4(t− 1)=

= 8(1+ 2+ ...+t− 1)+4(t− 1)= 4t2 − 4

Более формально равенство $f(2t)= 4t2− 4$ можно доказать индукцией по $t$ . Таким образом, $f(2012)= 4048140$ .

Ответ: 4048140