Многочлены на ИТМО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Многочлен 
таков, что 
имеет 
корней. Какое наименьшее количество корней может иметь производная многочлена
? (В обоих случаях имеются в виду различные корни, без учёта кратности.)
Источники:
Подсказка 1
Раз у нас в многочлене стоит x^2, то на что это может намекать? Какую-то симметрию может быть...
Подсказка 2
Пусть y - корень P(x^2). Тогда ведь и -y тоже будет корнем! Тогда у нас все корни разбиваются на пары...но их нечетное число. Значит? какой корень есть среди них?
Подсказка 3
0! Т.к. для него пара - он сам. А теперь подумайте про корни самого P(x). Какие корни можно получить из корней P(x^2)?
Подсказка 4
Если y - корень P(x^2), то y^2 - корень P(x)! Т.к. у нас было n пар таких корней и один 0, то у P(x) хотя бы n+1 неотрицательных корней! Можно ли теперь оценить кол-во корней у его производной?
Подсказка 5
Между каждой парой соседних корней P(x) должен находится корень P'(x), откуда их хотя бы n! Осталось привести пример, когда эта оценка достигается)
Если многочлен 
имеет корень 
то он также имеет и корень 
поэтому количество корней может быть нечётным только
если один из корней — это число 
Для каждой пары корней 
многочлена 
число 
является корнем многочлена 
число 
также является его корнем, поэтому у многочлена 
не менее 
корня (могут быть ещё какие-то отрицательные корни,
про них мы ничего не знаем).
Между каждыми двумя корнями многочлена 
должен находиться корень производной этого многочлена, поэтому у производной не
менее 
корней.
Легко убедиться, что это значение достигается, например, для многочлена 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
