Тема ИТМО (Открытка)

Многочлены на ИТМО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела итмо (открытка)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#121638

Многочлен $P(x)− a$ и многочлен $P (P (x)− b)$ имеют как минимум один общий корень. Докажите, что число $a− b$ является корнем многочлена $P (x).$

Источники: ИТМО-2025, 11.1(см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, как себя поведет многочлен P(x), если подставить в него общий корень многочленов.

Подсказка 2

Да, он будет равен а, т.к. P(x₀) - a = 0. Тогда как можно преобразовать P(P(x₀) - b), если P(P(x₀) - b) = 0?

Показать доказательство

Пусть $x 0$ — общий корень данных многочленов, тогда $P(x)− a= 0 0$ и $P(P(x )− b) =0. 0$ Из первого равенства следует, что $P(x )=a. 0$ Подставим это во второе равенство и получим

P(P(x0)− b)= P(a− b)= 0

Отсюда следует, что $a − b$ — корень $P (x).$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#121639

Петя и Вася играют в игру. Начинает Петя. В начале игры на доске написан многочлен $x2n+1+ x2n +...+x2+ x+ 1.$ В свой ход игрок может либо заменить многочлен на его производную, либо, если в многочлене больше одного одночлена, стереть с доски один из одночленов.

Если при дифференцировании какого-то одночлена получается в $0,$ он на доске не пишется. Игра заканчивается, когда на доске остаётся число. Петя хочет, чтобы это число было как можно больше, а Вася чтобы как можно меньше.

Какое число останется на доске при правильной игре?

Источники: ИТМО-2025, 11.2(см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем оценить сверху коэффициент при оставшемся одночлене. Как он зависит от изначальной степени этого одночлена? Что выгоднее сделать Пете в первую очередь?

Подсказка 2

Пете невыгодно оставлять одночлены, степень которых изначально была достаточно малой. А какой похожий вывод можно сделать о Васе?

Подсказка 3

Васе было бы выгодно, чтобы степень оставшегося одночлена была как можно меньше. Осталось придумать действия для их целей и оценить коэффициент оставшегося одночлена с двух сторон ;)

Показать ответ и решение

Будем говорить, что одночлен $axk$ при дифференцировании превращается в одночлен $akxk−1$ (или исчезает, если получившийся одночлен равен $0).$ Результат игры зависит от того, многократным дифференцированием какого одночлена получена итоговая константа. При этом на каждом ходу исчезает не более одного одночлена, поэтому игра продлится минимум $2n +1$ ход (изначально одночленов $2n+ 2).$

Петина стратегия — всё время дифференцировать многочлен. Петя начинает первый, он сделает минимум $n +1$ ход и уничтожит все одночлены, изначальная степень которых была от $0$ до $n$ включительно. Таким образом, вне зависимости от действий соперника, Петя гарантирует, что оставшийся одночлен будет иметь изначальную степень не меньше $n+ 1,$ а значит, его итоговое значение после превращения в константу будет не меньше ( $n +1)!.$

Васина стратегия — всё время стирать старший член многочлена. Вася сделает не менее $n$ ходов и уничтожит все одночлены, изначальная степень которых была больше $n+ 1.$ Таким образом, вне зависимости от действий соперника, Вася гарантирует, что оставшийся одночлен будет иметь изначальную степень не больше $n+ 1,$ а значит, его итоговое значение после превращения в константу будет не больше $(n+ 1)!.$

Ответ:

$(n+ 1)!$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#82286

Дан многочлен $P(x)$ степени $22$ . Известно, что у производной многочлена $P2(x)$ ровно $36$ различных вещественных корней. Какое наибольшее число различных вещественных корней может быть у многочлена $P (x)$ ?

Источники: ИТМО-2024, 11.1 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно взять производную от P^2(x). Она равна 2P(x)P’(x). Что вы можете сказать про корни производной, зная корни многочлена?

Подсказка 2

Вспомните теорему Ролля. Она гласит, что между корнями многочлена есть корень производной. Поймите отсюда верхнюю оценку количества корней, а затем придумайте пример.

Показать ответ и решение

Производная многочлена $P2(x)$ равна

( 2 )′ ′ P (x) = 2P (x)P (x)

Видно, что 36 корней этого выражения являются корнями многочлена $P(x)$ или его производной (могут быть одновременно корнями и многочлена, и производной).

По теореме Ролля между каждыми двумя корнями многочлена находится корень производной, не являющийся при этом корнем многочлена. Поэтому если у многочлена $P(x)$ хотя бы 19 корней, то у его производной хотя бы 18 отличных от этих 19 корней. Так что суммарно уже хотя бы $18+19= 37$ различных корней, а это уже больше 36.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма (доказывать на олимпиаде не требовалось): Если число $a$ является корнем многочлена $P(x)$ кратности $k,$ то для производной $′ P (x)$ число $a$ является корнем кратности $k− 1.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример на 18 корней строится так: рассмотрим многочлен

P0(x)= x5(x− 1)...(x − 13)(x− 14)(x− 15)(x− 16)(x − 17)

У него и у его производной 18 корней, но есть общий (только $x= 0$ общий по лемме, оставшиеся 17 корней находятся между корнями $P (x)$ по теореме Ролля). Тогда у $′ 2P0(x)P0(x)$ 35 корней.

Но при достаточно маленьком $𝜀> 0$ (можно взять конкретное $𝜀 =0.1$ ) многочлен $P(x)= P0(x)+𝜀$ будет иметь так же 18 корней и такую же производную, но $′ 2P (x)P (x)$ будет иметь уже 36 корней за счёт того, что $x= 0$ перестанеть являться корнем $P (x)$ .

Ответ:

$18$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#68641

$P (x)$ — кубический многочлен с рациональными коэффициентами. Его значение в точке $√7$ составляет $8,$ а значение его производной в этой же точке равно $56.$ Найдите все коэффициенты многочлена.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте просто представим кубический многочлен в общем виде и подставим √7 вместо x. Получим какое-то выражение, которое должно быть равно 8. Как здесь поможет то, что у нас коэффициенты - рациональные?

Подсказка 2

У нас некоторая часть выражения равна √7 * (что-то), где "что-то" - рациональное, а также все остальные числа рациональные в равенстве. А когда такое может выполняться вообще?)

Подсказка 3

Только когда это "что-то" равно нулю! Из этого получаем условия на коэффициенты. А теперь проделываем ту же операцию с производной и решаем систему

Показать ответ и решение

Пусть

3 2 P(x)= ax +bx + cx+ d

Тогда

√- √ - √- √- P( 7)= 7a 7+ 7b+ c 7+ d= (7a +c) 7+ 7b +d= 8

Это число может быть рациональным только если $(7a +c)√7-= 0,$ откуда

({ 7a+ c= 0 ( 7b+ d= 8

Далее,

′ 2 P (x)=3ax + 2bx+ c

Значит,

P′(√7)= 21a +2b√7+ c= 56

Отсюда по аналогичным соображениям

( { b=0 ( 21a+ c= 56

Объединив эту систему с ранее полученной, имеем

( ( ( ||| b= 0 ||| b =0 ||| b= 0 |||{ 7b+ d= 8 |||{ d =8 |||{ d= 8 | ⇔ | ⇔ | -56- ||||| 21a+ c= 56 ||||| 21a+ (− 7a)= 56 ||||| a= 21−7 = 4 ( 7a+ c= 0 ( c =−7a ( c= −7⋅4= −28

Ответ:

$P (x)= 4x3− 28x+ 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74569

Многочлен $P(x)$ таков, что $P(x2)$ имеет $2n +1$ корней. Какое наименьшее количество корней может иметь производная многочлена $P (x)$ ? (В обоих случаях имеются в виду различные корни, без учёта кратности.)

Источники: ИТМО-2022, 11.1 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз у нас в многочлене стоит x^2, то на что это может намекать? Какую-то симметрию может быть...

Подсказка 2

Пусть y - корень P(x^2). Тогда ведь и -y тоже будет корнем! Тогда у нас все корни разбиваются на пары...но их нечетное число. Значит? какой корень есть среди них?

Подсказка 3

0! Т.к. для него пара - он сам. А теперь подумайте про корни самого P(x). Какие корни можно получить из корней P(x^2)?

Подсказка 4

Если y - корень P(x^2), то y^2 - корень P(x)! Т.к. у нас было n пар таких корней и один 0, то у P(x) хотя бы n+1 неотрицательных корней! Можно ли теперь оценить кол-во корней у его производной?

Подсказка 5

Между каждой парой соседних корней P(x) должен находится корень P'(x), откуда их хотя бы n! Осталось привести пример, когда эта оценка достигается)

Показать ответ и решение

Если многочлен $P(x2)$ имеет корень $x , 0$ то он также имеет и корень $− x , 0$ поэтому количество корней может быть нечётным только если один из корней — это число $0.$ Для каждой пары корней $x0,− x0$ многочлена $( 2) P x$ число $2 x0$ является корнем многочлена $P(x);$ число $0$ также является его корнем, поэтому у многочлена $P(x)$ не менее $n +1$ корня (могут быть ещё какие-то отрицательные корни, про них мы ничего не знаем).

Между каждыми двумя корнями многочлена $P(x)$ должен находиться корень производной этого многочлена, поэтому у производной не менее $n$ корней.

Легко убедиться, что это значение достигается, например, для многочлена $x(x− 1)...(x− n).$

Ответ:

$n$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#40271

Кубический многочлен имеет три корня. Наибольшее его значение на отрезке $[4;9]$ достигается при $x =5$ , а наименьшее при $x =7$ . Найдите сумму корней многочлена.

Источники: ИТМО - 2021, 11.1 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте в первую очередь обозначим наш многочлен в стандартном виде. И раз нам намекают про производную в условии, то найдём и её. Исходя из заданного условия, что мы можем сказать про нули производной?

Подсказка 2

Верно, числа 5 и 7 являются просто корнями квадратного трёхчлена, то есть нулями производной. Запишем это в виде разложения на множители. Давайте теперь вспомним, какая есть теорема, где мы знаем сумму корней многочлена через его коэффициенты?

Подсказка 3

Точно, это теорема Виета! Мы можем выразить через изначальные коэффициенты кубического многочлена сумму корней производной, а оттуда найти и нужную сумму корней.

Показать ответ и решение

Пусть многочлен имеет вид $P (x)= ax3+ bx2+ cx+ d$ , откуда его производная $P′(x)= 3ax2 +2bx+ c$ .

Так как наименьшее и наибольшее значения достигаются во внутренних точках отрезка, то по необходимому условию экстремума производная в этих точках равна нулю, так что $′ f(x)$ имеет корни $5$ и $7$ , так что можно записать $′ P (x)= 3a(x − 5)(x − 7).$

По теореме Виета сумма корней многочлена $P(x)$ равна $b − a$ , а сумма корней многочлена $′ P (x)$ равна $2b- − 3a = 5+7 =12$ , откуда находим $b − a =18$ .

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#109924

График квадратного трёхчлена касается графика его производной. Докажите, что у трёхчлена нет корней.

Источники: ИТМО - 2020, 11.2 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть наш квадратный трёхчлен равен ax²+bx+c. Тогда чему равна его производная?

Подсказка 2

Верно, 2ax+b. Графики параболы и прямой касаются, значит, имеют одну общую точку. Как можно это записать в виде уравнения?

Подсказка 3

Это значит, что уравнение ax²+bx+c = 2ax+b имеет единственное решение. Более того, это квадратное уравнение, то есть мы можем сказать, чему равен его дискриминант!

Подсказка 4

Верно, его дискриминант равен нулю. Теперь мы можем сделать вывод о том, какой знак у дискриминанта исходного квадратного трёхчлена.

Показать доказательство

Касание графиков означает, что разность многочлена и производной имеет единственный корень. Пусть трёхчлен равен $ax2+ bx+ c,$ тогда производная — это $2ax+ b.$

Их разность равна $2 ax + (b− 2a)x+ (c− b).$ Её дискриминант должен быть равен $0,$ то есть $2 (b− 2a)− 4a(c− b)= 0,$ откуда $2 2 b − 4ac =− 4a < 0,$ то есть у трёхчлена нет корней.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#72124

Существует ли многочлен третьей степени такой, что все его корни положительны, а все корни его производной отрицательны, при условии, что и у многочлена, и у производной, есть хотя бы один единственный корень?

Источники: ИТМО-2019, 11.2 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем придумать пример! Если получится - предъявим, а если не получится - постараемся доказать, что такого многочлена не существует. Какой многочлен сразу приходит в голову, когда говорим, что он 3 степени?

Подсказка 2

Конечно, многочлен x³! Но у него единственный корень = 0, как бы его поправить, чтобы корень был положительным?

Подсказка 3

Можем просто вычесть константу! Положительный корень есть, осталось сделать так, чтобы корни производной были отрицательными. Константа не влияет на производную, тогда если наш многочлен имеет вид (x + a)³ + c, то его производная равна 3(х + а)². Нужно выбрать такое а, чтобы корень получился отрицательный, и потом проверить, что положительные корни функции никуда не пропали (а если пропали, то что надо сделать, чтобы они вновь стали положительными, при этом не поменяв производную?)

Подсказка 4

Так как свободный член не влияет на производную, то мы можем просто его уменьшить, чтобы при отрицательных х функция принимала только отрицательные значения ⇒ корни будут при положительных х (и возможно в 0, но от него точно так же можно избавиться)

Показать ответ и решение

У многочлена $(x+ 1)3− 8$ единственный корень $x= 1$ , а корень его производной $x= −1.$

Замечание. Как придумать пример? Рассмотрим $3 x$ — самый простой многочлен третьей степени. Чтобы у него был положительный корень, отнимем положительную константу, возьмем $3 x − 8$ . Сейчас производная равна $2 3(x+0)$ и ее корень $x =0$ . Если же рассмотрим функцию, например, $3 (x+ 1) − 8$ , получим корень производной, равный $− 1.$

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#72122

Мальчик Вася выписал в тетрадку ненулевые коэффициенты многочлена $P (x)$ десятой степени. Затем у получившегося многочлена вычислил производную и выписал ее ненулевые коэффициенты, и так далее, пока не получилась константа, которую он также выписал. Какое наименьшее количество различных чисел у него могло получиться? Коэффициенты выписываются с учетом знака, свободные члены также выписываются, если имеется одночлен вида $n ± x$ , выписывается $±1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз уж многочлен P(x) имеет степень 10, то как минимум 1 ненулевой коэффициент у него есть! И стоит он перед... чем? Давайте обозначим его а и посмотрим на то, каким он становится при вычислении производных

Подсказка 2

Стоит он перед x¹⁰, конечно, а иначе у нас многочлен не 10 степени) При вычислении производных он умножается на соответствующую степень х, то есть на 10, 9, и т.д. до 0. Сколько ненулевых чисел получилось? Могли ли какие-то из них быть равны?

Подсказка 3

Конечно они не равны, а ведь не 0, получается как минимум 10 различных чисел у нас есть. Остаётся придумать пример!

Подсказка 4

Давайте просто возьмём тот многочлен, который рассматривали, когда придумывали оценку - а ⋅ x¹⁰, берём любое ненулевое а и побеждаем :)

Показать ответ и решение

Оценка: так как многочлен имеет степень $10$ , у него совершенно точно есть ненулевой коэффициент при $x10$ назовём его $a$ . Тогда старший коэффициент производной этого многочлена равен $10a$ , старший коэффициент второй производной равен $10 ⋅9a$ и т.д., старшие коэффициенты девятой и десятой производных равны $10!⋅a$ причем все эти числа, кроме двух последних, различны. Таким образом, $10$ различных чисел точно есть

Пример:

x10 x9 10! + 9! + ...x+ 1

даёт ровно 10 различных чисел, так как каждый следующий одночлен — производная предыдущего.

Ответ: 10