.02 Комбинаторика

Введем такое вероятностное пространство

То есть элементарными исходами будут всевозможные последовательности ответов Пети.

Поскольку нам сказано, что Петя произвольно отвечает на вопросы, то наше вероятностное пространство классическое, то есть вероятности всех таких наборов из каких-то 15 ответов равновероятны.

a) Ясно, что среди всех таких последовательностей нам подходит только одна - где все ответы верные. А раз наше пространство классическое, то вероятность одного конкретного элементарного исхода - такого, в котором все ответы верные, равна

b) Нас теперь устраивают такие элементарные исходы, в которых и фиксированы и равны правильному ответу. А в остальных 13 вопросах мы можем выбрать любой из двух неправильных ответов. Таким образом, получается, что подходящих нам исходов всего , а всего их , поэтому искомая вероятность равна

c) В прошлом пункте мы посчитали вероятность того, что Петя ответил на конкретные 2 вопроса из 15. А теперь нас устраивает правильный ответ на какие-то 2 вопроса из 15, не обязательно на номер 6 и номер 10. Таким образом, элементарных исходов, удовлетворяющих нашему условию будет столько, сколькими способами можно выбрать 2 вопроса из 15, на которые он ответил правильно. Таких способов будет

Вероятность каждого конкретного такого исхода равна, как мы уже знаем, , поэтому ответ в данном пункте будет

d) Тут будет проще посчитать вероятность дополнения, то есть вероятность того, что он правильно ответил меньше, чем на 2 вопроса. То есть правильно ответил на 0 вопросов, или правильно ответил на 1 вопрос.

Вероятность правильно ответить на 0 вопросов - это вероятность того, что на каждый вопрос он дал неверный ответ. То есть здесь мы 15 раз выбираем из 2 неправильных ответов. Значит, нам будет подходить элементарных исходов, и поэтому вероятность ответить на все вопросы неправильно

Далее, вероятность ответить ровно на один вопрос будет вот какой. Давайте сначала посчитаем вероятность правильно ответить на конкретный один вопрос из 15. Например, на 13-ый. Значит, будет фиксировано и равно правильному ответу, а в остальных позициях нашей последовательности мы должны 14 раз выбрать любой из двух неверных ответов. Поэтому тут подходящих последовательностей будет , а, значит, вероятность верно ответить только на 13-й вопрос будет

Но мы ведь хотели посчитать вероятность того, что он ровно на один вопрос ответил верно. А этот один - не обязательно под 13 номером, он мог быть под любым номером. То есть будет 15 различных вариантов, на какой из 15 номеров он ответил верно (а на остальные - нет). Вероятность каждого конкретного варианта будет, ясное дело, равна . Таким образом,

А, значит,

Следовательно,