.23 Производные функции в точке

Стандартным примером в таком случае является функция модуля в точке

Действительно, нетрудно понять, что в точке у неё есть предел, равный : (слева от нуля эта функция равна просто а у очевидно предел равен в точке ; справа же модуль вообще равен и тоже стремится к при )
А это и означает, что - непрерывна в точке

А что можно сказать про дифференцируемость в точке ?
По определению, чтобы она была в точке дифференцируема, нужно, чтобы существовал предел Существует ли последний предел? То есть предел отношения модуля приращения аргумента к просто приращению аргумента.
На самом деле, он не существует. Объясним, почему.
Потому что если мы будем подходить к справа, то будет больше то есть и наш предел превращается в
С другой стороны, если мы будем подходить к точке слева, то есть брать маленькие отрицательные иксы, то будет меньше то есть и наш предел превращается в

Но напомним, что, чтобы существовал нужно, чтобы при любом стремлении к значение предела получалось одним и тем же. А у нас при правом стремлении этот предел получается равен а при левом стремлении Значит, ни о каком пределе не может идти и речи. А тем самым не существует и исходный предел Таким образом, функция - не дифференцируема в точке