.23 Производные функции в точке

Давайте для начала сформулируем и докажем очень полезную
Лемму. Пусть И пусть, кроме того, Тогда
Докажем лемму: посчитаем по определению производную Она должна быть равна пределу: Немного преобразуем числитель, приведя дроби в числителе к общему знаменателю:

Мы получили произведение двух выражений. Разберёмся с пределом каждого из них:
1. - по определению того что такое
2. - т.к. в знаменателе первый сомножитель стремится к в силу непрерывности функции в точке , а второй сомножитель так и остаётся поскольку он не зависит от

Вот мы и доказали лемму. Перейдём к доказательству основного утверждения:
Рассмотрим дробь как произведение Но мы знаем, что если и были дифференцируемы в точке то и оба сомножителя в произведении будут дифференцируемы в точке (второй сомножитель дифференцируем как раз по вышедоказанной лемме).

Осталось лишь применить формулу Лейбница для производной произведения:

Что и требовалось доказать.