.23 Производные функции в точке

a) Линейная функция дифференцируема в каждой точке в силу того, что представляет из себя сумму дифференцируемых в каждой точке функции (она дифференцируема всюду, потому что является произведением константы на а они - всюду дифференцируемы - проверьте для функции !) и постоянной функции тоже всюду дифференцируемой.

Значит, в любой точке будет верно, что Таким образом, получается, что производная нашей линейной функции в любой точке всегда равна то есть не зависит от Но действительно, как мы помним, производная линейной функции - постоянна; да и геометрически это ясно - касательная к прямой линии всегда одна и та же в каждой точке.
b) Здесь расписывается всё аналогично предыдущему пункту a). По сути здесь просто мы предлагаем вывести общую формулу, которой удобно постоянно пользоваться:
c) Мы уже знаем, что производная квадратичной функции в любой точке равна А далее пользуемся утверждениями о производной суммы функций и о том, что константу можно выносить за знак производной, и получаем, что будет выполнено:

d) Здесь, разумеется, то же самое рассуждение что и в пункте c). Общая формула такая:
e) Пользуясь правилом дифференцирования для дроби, получаем, что

Заметим, кроме прочего, что наша исходная функция дифференцируема во всех точках где её знаменатель не обращается в Однако знаменатель что невозможно.
Значит, - дифференцируема