.23 Производные функции в точке

Понятно, что если или если то мы будем иметь в одном случае, что а в другом, соответственно - Обе эти функции дифференцируемы в любой точке что строго меньше, что строго больше Следовательно, мы очевидно можем заключить, что наша функция уже и так дифференцируема в любой точке кроме точки про которую мы сейчас и попробуем выяснить, что нам нужно, чтобы в ней тоже оказалась дифференцируема.

Что же происходит в этой точке ?

Ясно, что мы просто по сути приклеиваем к экспоненте слева параболу с ветвями вверх справа. Причём у параболы мы можем за счёт выбора и менять размах ветвей и высоту подъема над
Итак, от нас требуется чтобы была дифференцируемой в точке Но слева производная у равна производной в нуле у то есть равна А справа у производная равна Следовательно, чтобы была дифференцируема в нуле, необходимо и достаточно, чтобы

Но неужели на этом всё? То есть можно взять любым? - Конечно, нет. Ведь дифференцируемая в точке функция обязана быть непрерывной в этой точке. А коэффициентом мы и можем как раз поднять или опустить параболу так, чтобы она непрерывно "приклеилась" к левому куску экспоненты.
Итак, чтобы была ещё и непрерывна в нуле, нужно, чтобы её значение слева от было равно значению справа. Слева она равна а справа как раз Значит, для непрерывности необходимо и достаточно, чтобы Итого, мы получили, что
Давайте посмотрим на то, как будет выглядеть график чтобы проверить себя, что мы действительно получили дифференцируемую склейку. Итак,