.23 Производные функции в точке
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вспомним теорему о производной композиции:
Теорема (о производной композиции функций). Пусть:
1) Функция 
имеет в точке 
производную, равную 
;
2) Функция 
имеет в точке 
производную, равную 
Тогда их композиция 
будет иметь в точке 
производную, да притом:
Тем самым, мы видим, что наличие производной у внутренней функции 
в точке 
и у
внешней 
в точке 
гарантирует то, что композиция 
- дифференцируема в точке 
Зададимся вопросом, а являются ли вышеперечисленные условия необходимыми для того, чтобы
композиция двух функций была дифференцируема?
Задача:
a) Бывают ли такие функции 
и 
что 
не дифференцируема в точке 
-
дифференцируема в точке 
а композиция 
тем не менее, дифференцируема в точке 
?
b) Бывают ли такие функции 
и 
что 
дифференцируема в точке 
- не
дифференцируема в точке 
а композиция 
тем не менее, дифференцируема в точке 
?
c) Бывают ли такие функции 
и 
что ни 
не дифференцируема в точке 
ни 
не
дифференцируема в точке 
а композиция 
тем не менее, дифференцируема в точке
?
a) Да, так бывает. Пусть 
- не дифференцируемая в нуле функция. Пусть 
-
константная функция, во всех точках равная нулю. Тогда, как и любая константная функция 
-
дифференцируема во всех точках.
И, нетрудно видеть, 
- дифференцируема в точке 
хотя 
не была
дифференцируема в 
b) Подойдёт тот же пример, что и в пункте a), только 
и 
надо поменять местами.
c) Рассмотрим такие функции:
Ясно, что ни 
ни 
не дифференцируемы в точке 
- у них в этой точке есть только
односторонние производные - правая и левая - и эти правая и левая производная у них в точке 0 не
совпадают. А значит ни о какой дифференцируемости в нуле для функций 
и 
речи идти не может.
Однако 
- всюду дифференцируемая функция, в частности, эта композиция
дифференцируема в точке 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
