.23 Производные функции в точке

1. Пусть у существует производная в точке . Обозначим её через .

То есть, это означает, что

Тогда очевидно, что

То есть, иными словами,

Далее, в этом последнем равенстве перенесем в правую часть и домножим всё на :

Но это в точности означает, что у сущесвтует дифференциал в точке , а именно, дифференциалом будет линейная функция

2. Пусть у существует дифференциал в точке .

Это означает, что найдётся такая линейная функция , что

Далее, давайте это последнее равенство поделим почленно на :

И теперь, если перейти к пределу при , мы увидим, что

А это и означает, что у существует производная в точке , и эта производная равна .