.06 Прямые и плоскости в трёхмерном пространстве.

1. Пусть такая, что , , , . Но тогда ясно, что первое уравнение превращается в уравнение

можно вынести за скобки и на него уравнение сократить (ведь ) и мы получим в точности второе уравнение. Но тогда выходит, что мы получаем физически два одинаковых уравнения. Естественно, в таком случае они задают одну и ту же плоскость.

2. Пусть, наоборот, нам известно, что уравнения

задают одну и ту же плоскость.

Тогда, непременно, нормали к этим плоскостям должны быть коллинеарны (ведь это одна и та же плоскость.)

Нормаль к первой плоскости имеет координаты , нормаль ко второй плоскости имеет координаты . И раз они коллинеарны, то существует такое , что , то есть , , .

Рассмотрим теперь какую-то точку , которая лежит в первой плоскости. Тогда она удовлетворяет уравнению

, то есть

Но по предположению наши две плоскости совпадают, следовательно, она удовлетворяет и второму уравнению, то есть

Учитывая же наши соотношения выше (, , ), мы можем преобразовать условие

к виду

Вынося за скобки:

Однако, у нас еще было условие

Из которого следует

Подставляя это соотношение в

Получаем

Откуда . И мы теперь доказали все что хотели.