.06 Прямые и плоскости в трёхмерном пространстве.

Пусть общее уравнение искомой плоскости есть

Тогда, во-первых, найдём направляющий вектор линии пересечения плоскостей и . Он равен векторному произведению нормалей пересекающихся плоскостей и . То есть, направляющий вектор прямой есть .

Следовательно, раз искомая плоскость проходит через эту прямую, то её нормаль ортогональна к . Получаем, таким образом, первое условие на коэффициенты:

Далее, видно, что на прямой лежит, например, точка . Значит, получаем второе условие:

Кроме того, по условию нам дано, что искомая плоскость параллельна вектору . Таким образом, получаем третье условие:

так как нормаль к плоскости должна быть ортогональна этому вектору.

Таким образом, имеем систему с четырьмя неизвестными и тремя уравнениями:

Поскольку уравнений на одно меньше, чем неизвестных, то система имеет бесконечно много решений - но это и так понятно, поскольку общее уравнение плоскости определено с точностью до умножения на ненулевой скаляр. Тогда, зафиксировав одно из чисел или получим, например, такое решение системы:

то есть уравнение плоскости будет