.06 Прямые и плоскости в трёхмерном пространстве.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Определить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают. Если плоскости пересекаются, найти канонические уравнения линии пересечения:
- 1.
- 2.
- 3.
- 4.
- 5.
- 6.
- 1.
. Так как вектора нормали не коллинеарны, то плоскости
пересекаются. Вектор направления прямой будет векторным произведением нормалей к
плоскостям. Нормали 
, тогда векторное произведение: ![⃗
[⃗a, b] = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) = (− 4 − (− 1),− 1− (− 2),1− 2) = (− 3,1,− 1)](/api/latex-service/v1/GetSession/131662/index-1dc7f97b7557d59fd69e0d2250b3c22f.svg)
.
Точка, через которую проходят обе плоскости, 
. Тогда каноническое уравнение
линии пересечения: 
.
- 2.
. Мы можем второе уравнение плоскости
поделить на 3 и от этого плоскость не изменится: 
, получится первое
уравнение, то есть плоскости совпадают.
- 3.
. Вектора нормали 
и 
, они
отличаются умножением на константу, следовательно коллинеарны. Если поделим на два
второе уравнение, то получим: 
. Отличается только свободный член,
значит, плоскости параллельны.
- 4.
- Нам даны направляющие векторы плоскостей
и 
. Нужно понять являются ли они компланарными, для этого
запишем их в матрицу и найдем ранг. Если ранг равен двум, то 4 вектора компланарны,
значит, плоскости либо совпадают, либо параллельны.
Ранг получился три, то есть вектора не компланарны. Следовательно, плоскости пересекаются. Найдем вектор направления прямой пресечения этих двух плоскостей как векторное произведение нормалей. Нормали к этим плоскостям, в свою очередь, найдем как векторное произведение направляющих векторов плоскости:
![⃗n1 = [⃗a1, ⃗a2] = (1,− 1,1)](/api/latex-service/v1/GetSession/131662/index-56716aa63757b087da67c16ce291580c.svg)
,
![⃗n2 = [⃗b1, ⃗b2] = (6,− 5,− 19 )](/api/latex-service/v1/GetSession/131662/index-f97ad52fd6147ac87e53d1b4cf2d8320.svg)
.
Далее:![⃗v = [⃗n1, ⃗n2] = (24,25,1)](/api/latex-service/v1/GetSession/131662/index-58f057395b35920f64070ba558e6cf6f.svg)
- направляющий вектор искомой прямой пересечения.
Осталось найти точку на прямой. Для этого давайте сначала запишем уравнение первой и
второй плоскости в общем виде:
И нам нужна точка, удовлетворяющая и первому и второму уравнению. Подойдёт, например, точка
Тогда можем записать каноническое уравнение прямой
пересечения наших плоскостей:
- 5.
- Нам даны направляющие
векторы плоскостей
и 
. Найдем
нормали этих плоскостей ![⃗n1 = [⃗a1, ⃗a2] = (1,2,− 1)](/api/latex-service/v1/GetSession/131662/index-75870bae2ac78724c1c621687215cb1f.svg)
, ![⃗n2 = [⃗b1, ⃗b2] = (− 3,− 6,3)](/api/latex-service/v1/GetSession/131662/index-df0d448cbf57a73b2f2c1f252fb01895.svg)
. Заметим,
что вектора нормали коллинеарны, значит, плоскости либо параллельны либо совпадают.
Если они совпадают, то любая точка, принадлежащая первой плоскости, принадлежит
и второй. Проверим точку 
: из первого равенства для 
, следует, что
, подставляя это значение 
во второе для 
, получим 
, тогда
. Следовательно, точка принадлежит второй плоскости. Следовательно,
параллельными эти плоскости быть не могут. Значит, они совпадают.
- 6.
- Рассмотрим нормаль к первой плоскости:
![⃗n = [⃗a1, ⃗a2] = [(1,1,1),(4,1,2)] = (1,2,− 3)](/api/latex-service/v1/GetSession/131662/index-dc9df13daed1208cc66046cb61a0efc0.svg)
.
Заметим, что у второй плоскости такой же вектор нормали. Значит, они либо параллельны,
либо совпадают. Если они совпадают, то любая точка, принадлежащая первой плоскости,
принадлежит и второй. Проверим точку 
, лежащую в первой плоскости и
подставим её координаты во второе уравнение: 
, точка не лежит на
второй плоскости. Значит, плоскости параллельны.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
