.06 Прямые и плоскости в трёхмерном пространстве.

Заметим, что чтобы прямая была параллельна плоскости или лежала в ней, необходимо, чтобы её направляющий вектор был параллелен этой плоскости ( направляющий вектор прямой был перпендикулярен нормали к плоскости). Соответственно, так как плоскости заданы общим уравнением , то мы будет проверять, перпендикулярен ли направляющий веткор прямой вектору через скалярное произведение (если вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0).
Чтобы различить лежит ли прямая в плоскости или она ей параллельна, нужно будет проверить, лежит ли какая-то одна точка прямой на плоскости (подставив точку в уравнение плоскости).

1.

,

Прямая задана каноническим уравнением, так что мы сразу получаем:
Направляющий вектор прямой:
Точку на прямой:

Проверим, пересекает ли прямая плоскость:
- получаем, что прямая либо параллельна, либо принадлежит плоскости.

Проверим, лежит ли прямая в плоскости:
- получаем, что прямая не принадлежит плоскости. Значит, параллельна.

2.

,

Прямая задана каноническим уравнением, так что мы сразу получаем:
Направляющий вектор прямой:
Точку на прямой:

Проверим, пересекает ли прямая плоскость:
- получаем, что прямая пересекает плоскость

Чтобы найти в какой именно точке это происходит, перепишем уравнение прямой в параметрическом виде, а потом подставим получившиеся соотношения в уравнение плоскости:

Подставляем:

Получаем точку:

3.

,

Прямая задана каноническим уравнением, так что мы сразу получаем:
Направляющий вектор прямой:
Точку на прямой:

Проверим, пересекает ли прямая плоскость:
- получаем, что прямая либо параллельна, либо принадлежит плоскости.

Проверим, лежит ли прямая в плоскости:
- получаем, что прямая принадлежит плоскости

4.

,

Так как прямая здесь задана пересечением плоскостей, то можем сразу найти есть ли у прямой и плоскости общие точки. Если есть одна общая точка, то прямая пересекает плоскость , если общих точек бесконечно много, то прямая лежит в плоскости , а если общих точек нет, то прямая плоскости параллельна.

Общие точки (если они есть) будут принадлежать и плоскости , и плоскостям, пересечение которых образует прямую . Таким образом общие точки будут решением системы:

У этой системы есть одно решение: . Значит, прямая пересекает плоскость.

5.

,

Так как и здесь прямая задана пересечением плоскостей, то будем решать аналогично предыдущему пункту. Запишем систему:

У этой системы решений нет. Следовательно, прямая параллельна плоскости.

Ответ.

1.

параллельна

2.

пересекает в точке

3.

прямая лежит в плоскости

4.

пересекает в точке

5.

параллельна