.06 Прямые и плоскости в трёхмерном пространстве.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Составить уравнения биссекторных плоскостей двугранных углов между плоскостями:
- 1)
;
- 2)
.
- 1)
- Найдем какую-нибудь точку пересечения плоскостей
и 
(она нам пригодится в
конце). Например, подойдет точка 
. Найдем направляющий вектор линии
пересечения плоскостей, т.е. такой вектор 
, который параллелен обеим
плоскостям:
Например, подойдет вектор
.
Тогда в качестве плоскости, перпендикулярной обеим данным, можно взять плоскость
.
Найдем направляющий вектор пересечения
с 
, т.е. вектор 
, удовлетворяющий
системе:
Например, подойдет вектор
.
Найдем направляющий вектор пересечения
с 
, т.е. вектор 
,
удовлетворяющий системе:
Например, подойдет вектор
.
Можно проверить, что
и 
имеют одинаковую длину (нам просто повезло; в отсутствие
такого везения пришлось бы их отнормировать).
Векторы
и 
по построению являются перпендикулярами к линии пересечения
плоскостей 
и 
, поэтому одна биссекторная плоскость натянута на векторы
и 
, а вторая – на векторы 
и
.
Найдем вектор нормали к первой биссекторной плоскости, т.е.
, удовлетворяющий
системе:
например, подойдет вектор
.
Тогда первая биссекторная плоскость задается уравнением вида
, 
находится из условия принадлежности этой плоскости точки 
, которую мы нашли в
начале:
Итак, первая биссекторная плоскость имеет уравнение
.
Вторая ищется совершенно аналогично. Сначала из системы
находим вектор
, перпендикулярный 
и 
, т.е. вектор нормали ко
второй биссекторной плоскости. Получаем 
.
Тогда вторая биссекторная плоскость задается уравнением вида
, где 
находится из условия принадлежности этой плоскости точки 
:
Итого, вторая биссекторная плоскость задается уравнением
.
- 2)
- Снова начнем с поиска пересечения плоскостей. Точка
удовлетворяет обоим
уравнениям, следовательно лежит на линии пересечения (понадобится в конце). Направляющий
вектор 
линии пересечения находится из системы
которая говорит о том, что вектор
параллелен 
и 
. Например, подойдет вектор
.
Плоскость
натянута на векторы 
и 
. Найдем вектор
плоскости 
, который перпендикулярен вектору 
, т.е. линии пересечения
плоскостей 
и 
:
Положим
. Тогда 
.
Плоскость
натянута на векторы 
и 
. Найдем вектор
плоскости 
, который перпендикулярен вектору 
:
Положим
. Тогда 
. Можно проверить, что векторы
и 
имеют равные длины.
Тогда первая биссекторная плоскость натянута на векторы
и
, а вторая – на векторы 
и
.
Нормаль
к первой биссекторной плоскости удовлетворяет системе
Например, можно взять
. Тогда первая биссекторная плоскость задается
уравнением вида 
, где 
находится подстановкой точки 
(нашли ее в начале решения).
Нормаль
ко второй биссекторной плоскости удовлетворяет системе
Например, подойдет
. Тогда вторая биссекторная плоскость задается
уравнением вида 
, где 
определяется подстановкой точки
.
Таким образом, получены ответы
и 
.
1) 
;
2) 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
