Муниципалка 8 - 9 класс
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— ненулевые числа. Докажите, что среди неравенств:
по крайней мере два — неверные.
Источники:
Подсказка 1
Очевидно, что среди наших трех чисел будут хотя бы 2 одного знака (пусть это х и у). Стоит попробовать поработать с ними. Принесет ли хоть одно неверное неравенство?
Подсказка 2
Из неравенств x+y>0 и x+2y<0 одно неверно. Получается, что либо у нас появятся неверные неравенств а такого же типа, либо же существует число, знак которого отличается от двух других (y и z). Как найти еще одно неверное неравенство?
Подсказка 3
Чтобы найти еще одно неравенство, нужно сравнить числа y + z и y + 2z.
Способ 1. Предположим противное. Среди трех ненулевых чисел найдутся два одного знака — пусть это 
и 
Тогда одно из неравенств
и 
неверно. Если все три числа имеют один знак, то мы таким образом найдем три неверных неравенства. В
противном случае среди трех пар 
найдется пара, в которой первое число отрицательно, а второе положительно; пусть это
пара 
Тогда одно из неравенств 
и 
также неверно, ибо 
. Найденные нами неверные неравенства,
очевидно, различны.
Способ 2. Предположим, что верно хотя быть пять неравенств. Тогда верны все три неравенства из первых трех и хотя бы два из последних трех, или хотя бы два из первых трех и все три последних неравенства.
В первом случае, не ограничивая общности, считаем, что из последних трех верны четвертое и пятое неравенство. Но тогда
С другой стороны, 
. Противоречие.
Во втором случае, не ограничивая общности, считаем, что 
Но тогда, как и и в первом случае,
Противоречие. Таким образом, из указанных неравенств хотя бы два неверные.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
