Муниципалка 8 - 9 класс

Пусть для определенности углы — острые, обозначим . Так как — высота, то Пусть — середины соответственно.

Первое решение.

Отметим точку пересечения серединных перпендикуляров и к сторонам треугольника . Эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Заметим, что угол вдвое меньше центрального угла поэтому равен вписанному углу то есть При этом из вписанности четырёхугольника (два прямых угла дают вписанность). Тогда обратим внимание, что касается описанной окружности треугольника , так как угол между ней и хордой равен углу опирающемуся на эту хорду. По теореме о касательной и секущей получаем

Второе решение.

Не будем думать и посчитаем в синусах: из прямоугольных треугольников

Тогда получается

Наконец, по теореме синусов радиус описанной окружности равен

Попробуем разложить наше выражение на скобочки. Если каждая из них будет больше то мы победили!

Так как и натуральные, то обе скобки больше Следовательно, число — составное.

Пусть — ежемесячный доход студента, и — величины стипендии, подработки и помощи родителей соответственно (выраженные, например, в рублях). Ясно, что Тогда по условию и Из первого уравнения из второго тогда то есть, доход студента возрастёт на

Рассмотрим и преобразуем разность:

По условию тогда получаем значит большое число в раза больше.

Можно, например,

Указанные четыре числа можно записать в виде , где принимает значения поэтому сумма любых трёх чисел

делится на Все числа в наборе нечётные, значит, сумма любых двух делится на Наконец, сумма всех четырёх чисел равна и делится на

Если бы такие три числа существовали, по крайней мере два из них имели бы одинаковую четность. Предположим, что это пара чисел и . Тогда сумма четная, а значит, четным должно быть и произведение Число же которому это произведение должно равняться, — нечетное. Полученное противоречие показывает, что целых чисел, удовлетворяющих условию, не существует.

Обозначим три различные цифры как Всевозможные двузначные числа:

По условию

Приведем общие слагаемые

То есть Так как это различные цифры, Следовательно Переберем возможные значения

Если то Это возможно только в случае и наоборот.

Если то Это возможно только в случае и наоборот.

Если то Это возможно только в случае и наоборот.

В случаях, когда или перебирая всевозможные подходящие пары цифр получаем уже найденные ранее тройки.

По условию, эти числа записываются только цифрами Тогда трехзначные числа, кратные могут иметь на конце в точности вариантов: При этом на первом месте в каждом из этих вариантов может стоять одна из возможных цифр: В случае, если число двузначное, имеем вариантов. А также — однозначное натуральное число, кратное Итого,

Если целое число дает остаток или при делении на то и тоже. Если же дает остаток при делении на то его квадрат дает остаток при делении на То есть квадраты целых чисел дают остатки и при делении на Тогда если выражение делится на то и делятся на

Пусть для некоторых целых чисел и Если числа и чётны, то сумма их квадратов делится на , а число — нет. Таким образом, числа и могут быть только нечетными:

Следовательно, сумма

при делении на дает в остатке

С другой стороны, среди чисел вида только число при делении на дает в остатке , поскольку если число двоек в этом числе больше , то , при этом первое слагаемое полученной суммы делится на , а второе при делении на дает в остатке

Обозначим середину стороны через проведем лучи и которые параллельны соответственно прямым и которые пересекаются в точке

Понятно по построению, что — прямоугольный. Тогда — срединный перпендикуляр к а — серединный перпендикуляр к поэтому откуда

Отметим точки пересечения биссектрис Кроме этого, обозначим Поскольку сумма углов четырёхугольника равна имеем:

Рассмотрим треугольник В нём:

—

— так как внешний угол треугольника (этот угол и нужно найти в задаче),

—

Следовательно, треугольник равнобедренный, и

Обозначим площадь треугольника через а площадь четырёхугольника через

Пусть площадь квадрата равна тогда Учитывая, что получим Значит,

Следовательно,

Так как в результате ошибки число уменьшилось, то запятая была сдвинута влево. При этом число уменьшилось в раз. Пусть получилось число , тогда искомое число — это По условию: , значит, , тогда

Преобразуем данное равенство, умножив обе его части на . Получим: После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых равенство примет вид: Следовательно, , откуда .

Обозначим через км/мин скорость пловца, через км/мин скорость реки. За 10 минут против течения пловец проплывает км. Следовательно, расстояние от точки поворота до точки, в которой пловец догонит плот, равно км. Это расстояние пловец должен преодолеть за мин. Решая уравнение

получим км/мин.

Первое решение.

так как все слагаемые неотрицательны. Из неравенства следует доказываемое утверждение.

Второе решение.

По неравенству о средних

Преобразуем левую часть уравнения

Произведение целых чисел слева является кубом , значит, каждое из этих чисел является кубом, или одно из них равно 0. В первом случае получаем, что два последовательных натуральных числа, и , являются кубами. Но два последовательных числа являются кубами только в том случае, если это 0 и 1 или и Получаем варианты или , проверяем подстановкой, вычисляем и составляем ответ. Во втором случае, когда один из множителей слева 0, снова возвращаемся к ответу . Приведем доказательство, что два последовательных куба - это только числа 0 и 1 или и (Считается известным фактом, в работе можно не доказывать).

С учетом того, что целые числа, последнее произведение является произведением или , откуда получаем или

Если есть целый корень , то . Пусть , тогда

Если , то . Если , то . Следовательно, целых корней нет.

Заметим, что , а . Каждую минуту один из показателей степени меняется на единицу, т.е. сумма степеней меняет четность. Отсюда следует, что через час четность суммы степеней будет той же, что и у исходного числа. Однако сначала сумма степеней была равна , т.е. числу нечетному, а в конце оказалась равной , т.е. числу четному.