Тема Муниципальный этап ВсОШ

Муниципалка 8 - 9 класс

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела муниципальный этап всош

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#43634Максимум баллов за задание: 7

Точка $E$ — середина стороны $AB$ параллелограмма $ABCD$ . На отрезке $DE$ нашлась такая точка $F$ , что $AD = BF$ . Найдите градусную меру угла $CFD.$ В ответ внесите число.

Источники: Муницип - 2020, Москва, 8.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть параллелограмм ABCD и точка E- середина стороны AB. Естественным построением в данном случае будет продление отрезка DE до пересечения с прямой BC. Что же оно нам дает?

Подсказка 2

Пускай луч DE пересекает прямую BC в точке K. Посмотрим на треугольники △AED и △KEB. У них AE=EB и ∠KEB=∠AED. Чего им не хватает, чтобы быть равными?

Подсказка 3

Еще одного уголочка! Но ведь прямые AD и CK параллельны, поэтому ∠EAD=∠EBK ⇒ △AED =△KEB. В частности, BK=AD=BC=BF. Повнимательнее посмотрите на треугольник △KFC и завершите решение!

Показать ответ и решение

Продолжим $DE$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $K$ . Так как $BK ∥AD$ , то $∠KBE = ∠DAE.$ Кроме того, $∠KEB =∠DEA$ и $AE = BE$ , значит, равны треугольники $BKE$ и $ADE.$ Тогда $BK = AD = BC.$

$PIC$

Таким образом, в треугольнике $CFK$ медиана $FB$ равна половине стороны, к которой она проведена, поэтому этот треугольник — прямоугольный с прямым углом $F.$ Следовательно, и угол $CFD$ — прямой.

Ответ: 90

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#43635Максимум баллов за задание: 7

Перпендикуляры $BE$ и $DF$ , опущенные из вершин $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ на стороны $AD$ и $BC$ соответственно, делят параллелограмм на три части равной площади. На продолжении диагонали $BD$ за вершину $D$ отложен отрезок $DG$ , равный отрезку $BD$ . Прямая $BE$ пересекает отрезок $AG$ в точке $H$ . Найдите отношение $AH :HG$ . В ответ внесите число в виде десятичной дроби, дробную часть отделяйте запятой.

Источники: Муницип - 2020, Владимирская область, 9.3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала хочется разобраться с условием на площади. В нашей ситуации эти площади довольно легко посчитать и найти выгоднее соотношения...

Подсказка 2

S(△ABE)=AE*EB/2, а S(BEDF)=BE*ED ⇒ AE/ED=2/1. Хммм... Очень знакомое отношение, не так ли? Подкрадывается мысль о том, что E- точка пересечения медиан треугольника △ABG. Как это доказать?

Подсказка 3

По условию BD=DG. Значит AD- медиана треугольника △ABG, а E точка, делящая ее в отношении 2 к 1 ⇒ Урааа. Чем же тогда является отрезок BH?)

Показать ответ и решение

По условию $(AE ⋅BE) :2 =ED ⋅BE$ , откуда $AE = 2ED.$

$PIC$

Заметим, что $AD −$ медиана треугольника $ABG.$ Поэтому отрезок $BH$ , делящий медиану $AD$ в отношении $AE :ED = 2$ , тоже медиана треугольника $ABG.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#43637Максимум баллов за задание: 7

$MM 1$ и $P P 1$ — биссектрисы треугольника $MNP.$ Длины перпендикуляров, опущенных из вершины $N$ на прямые $MM 1$ и $PP 1$ равны. Докажите, что треугольник $MNP$ равнобедренный.

Источники: Муницип - 2020, Липецкая область, 9.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим основание перпендикуляров X и Y. И естественно провести третью биссектрису. Когда есть перпендикуляры, то есть и прямоугольные треугольники. Тогда какая деталь первая бросается в глаза на картинке, зная, что перпендикуляры равны?

Подсказка 2

Верно, можно увидеть равенство прямоугольных треугольников XIN и YIN, где I — точка пересечения биссектрис. Но нам нужна равнобедренность, и один из способов это доказать через углы. Какие же ещё для этого можно увидеть равные треугольники на картинке?

Подсказка 3

Ага, это треугольники NIM и NIP, равные по стороне и двум углам. Но тогда и третий уголок у них равный, а из-за биссектрисы получаем требуемое в задаче. Победа!

Показать доказательство

Первое решение.

$PIC$

Пусть $ND$ и $NE$ перпендикуляры, опущенные из вершины $N$ на прямые $MM1$ и $PP1.$ Продолжим перпендикуляры $NE$ и $ND$ до пересечения с прямой $MP$ (точки пересечения соответственно $T$ и $S$ ). Треугольники $NPT$ и $NMS$ равнобедренные (биссектрисы $P E$ и $MD$ являются высотами), отсюда $NP =P T$ , $NM = MS$ и $NT = 2NE =2ND = NS$ . Из последнего равенства $∠NTS = ∠NST$ . Тогда треугольники $NP T$ и $NMS$ равны. Следовательно, $MN = NP.$

Второе решение.

$PIC$

Пусть $O$ — точка пересечения биссектрис треугольника $MNP.$ Из равенства прямоугольных треугольников $ONE$ и $OND$ с общей гипотенузой следует, что $∠NOP1 = ∠NOM1.$ Отсюда с учетом равенств $∠P1OM = ∠M1OP$ и $∠MNO = ∠PNO$ следует, что $∠NMO = ∠NP O$ , т.е. $∠MNP = ∠NPM$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#43642Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ , в котором $AB > AC$ , проведена биссектриса $AL.$ На стороне $AB$ выбрана точка $K$ так, что $AK = AC$ . Пусть $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ALB.$ Докажите, что углы $KCB$ и $ABO$ равны.

Источники: Муницип - 2020, Московская область, 9.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сделали чертеж, теперь надо доказать параллельность. Это можно делать через равные углы при прямых или через присутствие этих прямых в фигурах, которые по определению имеют параллельные прямые.

Подсказка 2

Заметим, что треугольник ECD - равнобедренный, и у него есть биссектриса DL, которая так же является медианой и высотой, следовательно, точка L-середина ED.

Подсказка 3

Слишком много середин разных отрезков, К и М у нас уже соединены, может стоит соединить К и L?

Подсказка 4

Рассмотрите треугольник EBC, чем здесь является KL?

Подсказка 5

Правильно, это средняя линия, значит она параллельна стороне BC и равна ее половине, а так же KL параллельна стороне AD и равна ее половине MD. Отсюда KL=MD, KL||MD, а значит KLMD-параллелограмм, в котором DL||KM.

Показать доказательство

Первое решение.

$PIC$

Вписанный угол $BAL$ в два раза меньше центрального угла $BOL$ , значит, $∠BOL = 2∠BAL =∠KAC$ .

Значит, углы $KAC$ и $BOL −$ равные углы при вершинах равнобедренных треугольников $KAC$ и $BOL$ , поэтому $∠AKC =∠OBC.$

Но угол $AKC −$ внешний для треугольника $KBC$ , поэтому $∠AKC =∠ABC +∠KCB$ , в частности $∠OBC = ∠AKC > ∠ABC$ , поэтому точка $O$ лежит по другую сторону от $AB$ , нежели $C.$

С другой стороны, $∠OBC = ∠ABC + ∠ABO$ , откуда и следует утверждение задачи.

Второе решение.

$PIC$

Обозначим углы треугольника $∠BAC = 2α,∠ABC = 2β$ , $∠ACB =2γ.$ По условию, $β < γ.$ Тогда $∘ ∠ALB = ∠ACL +∠LAC = α +2γ > 90$ , поэтому $O$ лежит по другую сторону от $AB,$ нежели $L,$ и

∠OBA = ∠OAB = (180∘− ∠AOB )∕2=∠ALB − 90∘ = (α +2γ)− (α +β +γ)= γ− β

С другой стороны, в равнобедренном $\text{[math]}$ треугольнике $AKC$ имеем

∠KCB = ∠ACB − ∠ACK = 2γ− (β+γ)= γ− β =∠OBA

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#43946Максимум баллов за задание: 7

Антон положил на клетчатую доску $46×101$ несколько бумажных крестиков, изображенных на рисунке (каждый крестик покрывает ровно 5 клеток доски). Оказалось, что для каждой клетки доски сумма попавших на неё чисел не превосходит 2. Какое наибольшее количество крестиков мог положить Антон?

$PIC$

Источники: Муницип - 2020, Санкт-Петербург, 9.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что двойки не могут попасть на рамку. Очень часто в задачах на оценку+пример помогает разбиение на фигуры, в которых мы точно сможем определить количество двоек. На какие?

Подсказка 2

Заметим, что в прямоугольнике 2*3 двоек не больше двух! Осталось лишь придумать пример)

Показать ответ и решение

Отметим центральные клетки всех положенных Антоном крестиков. Эти клетки не могут лежать на границе доски, поэтому они располагаются в прямоугольнике $44×99.$ Разобьем его на $22⋅33$ прямоугольных блока $2× 3.$ Несложно проверить, что в каждом таком блоке не может находиться больше 2 центральных клеток. Поэтому на доске находится не более $2⋅22 ⋅33= 44⋅33$ крестиков.

Приведем пример расположения такого количества центральных клеток. Разобьем весь прямоугольник $44× 99$ на диагональные ряды одного направления и отметим все клетки каждой третьей диагонали. В каждую полоску $1× 3$ попадёт ровно одна отмеченная клетка, поэтому их будет ровно $44⋅33$ штуки. Легко убедиться, что условие при этом будет выполняться.

Итого $44⋅33= 1452.$

Ответ: 1452

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#100188Максимум баллов за задание: 7

Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD, X$ — середина диагонали $AC.$ Оказалось, что $CD ∥BX.$ Найдите $AD,$ если известно, что $BX = 3,BC =7,CD = 6.$

Источники: Муницип - 2020, Москва, 9.3 (см. vos.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Удвоим BX за точку X и получим точку M. Тогда сразу получится, что ABCM параллелограмм. А есть ли на картинке еще какой-нибудь параллелограмм?

Подсказка 2

Верно! BCDM — тоже параллелограмм. Можно ли тогда понять что-нибудь о расположении точки M?

Подсказка 3

Верно! Так как DM и AM параллельны BC, точка M лежит на AD. Как тогда найти нужный отрезок?

Показать ответ и решение

Удвоим медиану $BX$ треугольника $ABC,$ получим точку $M.$ Четырёхугольник $ABCM$ — параллелограмм.

Заметим, что $BCDM$ также является параллелограммом, так как отрезки $BM$ и $CD$ равны по длине (оба по $6)$ и параллельны. Это означает, что точка $M$ лежит на отрезке $AD,$ так как $AM ∥BC$ и $MD ∥BC.$

$PIC$

Теперь нетрудно найти искомый отрезок:

AD =AM +MD =BC + BC = 14

Ответ: 14

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#41752Максимум баллов за задание: 7

На острове Лжецов и Рыцарей расстановку по кругу называют правильной, если каждый, стоящий в кругу, может сказать, что среди двух его соседей есть представитель его племени. Однажды 2019 аборигенов образовали правильную расстановку по кругу. К ним подошел лжец и сказал: “Теперь мы вместе тоже можем образовать правильную расстановку по кругу”. Сколько рыцарей могло быть в исходной расстановке?

Источники: Муницип - 2019, Москва, 8.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала подумайте, сколько вообще может быть рыцарей и лжецов в правильной расстановке? Подумайте про то, у кого какие соседи.

Подсказка 2

Рыцарей должно быть хотя бы два, потому что вокруг лжеца обязательно должно быть 2 рыцаря, а вокруг каждого рыцаря хотя бы один рыцарь) Из этого уже понятно, как выглядит расстановка. Подумайте теперь, всегда ли можно сделать правильную расстановку при таком условии?

Подсказка 3

Да, можно) Просто ставим их как ЛРРЛРР.., а после пихаем оставшихся рыцарей где уже есть рыцари. Теперь вопрос: что произошло, когда пришел новый лжец?

Подсказка 4

Т.к. он лжец, то теперь нельзя сделать правильную расстановку! Подумайте, что стало с нашим условием на кол-во рыцарей и лжецов, и решите задачку :)

Показать ответ и решение

Докажем, что правильная расстановка по кругу возможна тогда и только тогда, когда рыцарей, по крайней мере, в два раза больше, чем лжецов.

Действительно, из условия задачи следует, что в такой расстановке соседями каждого лжеца являются два рыцаря, а среди соседей любого рыцаря есть хотя бы один рыцарь. Тогда правильная расстановка должна выглядеть так: группа рыцарей, лжец, группа рыцарей, лжец, и так далее (в каждой группе не менее двух рыцарей). Значит, при такой расстановке рыцарей хотя бы в два раза больше, чем лжецов.

В обратную сторону: если рыцарей в два раза больше, чем лжецов, то делаем расстановку вида РРЛРРЛ…, а оставшихся рыцарей (если они есть) помещаем между любыми двумя рыцарями. Таким образом, если выполняется такое условие, то правильная расстановка возможна.

Пусть в правильной расстановке, указанной в условии, стоят Р рыцарей и Л лжецов, тогда $P ≥2Л$ . Подошедший лжец сказал неправду, поэтому вместе с ним правильная расстановка невозможна, следовательно, $P≤ 2Л +1.$ Таким, образом $P = 2Л$ или $P = 2Л+ 1$ . В первом случае, в исходной расстановке 2019. $23 = 1346$ рыцарей, а второй случай невозможен, так как число $(2019− 1)⋅ 23$ не будет целым.

Ответ: 1346

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#42225Максимум баллов за задание: 7

У натурального числа $N$ выписали все его делители, затем у каждого из этих делителей подсчитали сумму цифр. Оказалось, что среди этих сумм нашлись все числа от $1$ до $9$ . Найдите наименьшее значение $N$ .

Источники: Муницип - 2019, Москва, 8.5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним, что сумма цифр неразрывна связана с признаком делимости на 3 и на 9, поэтому что можно сказать про наше число N?

Подсказка 2

Верно, N делится на 9, а значит уже можно перебирать числа все числа кратные 9 и надеяться, что через небольшое время найдётся то самое наименьшее подходящее. Но можно попытаться ещё сократить перебор! Для этого нам нужно найти такой делитель d, который был бы взаимно прост с 9, т.е. не делился бы на 3, чтобы мы могли проверять только числа вида 9dk, где k - натуральное число. А какой признак нам поможет сказать, что число не делится на 3?)

Подсказка 3

Можно снова воспользоваться, тем, что если сумма цифр числа НЕ делится на 3, то и само число НЕ делится на 3. Тогда каким свойством может обладать d?

Подсказка 4

Например, 8 не делится на 3, а значит можно взять d с суммой цифр 8, остаётся только перебрать все числа d с суммой цифр 8 в порядке возрастания.

Показать ответ и решение

Заметим, что у числа $288$ есть делители $1,2,3,4,32,6,16,8,9.$ Поэтому это число удовлетворяет условию задачи. Докажем, что меньшего числа, удовлетворяющего условию, не существует.

Действительно, так как $N$ должно иметь делитель с суммой цифр $9$ , то $N$ делится на $9.$ Рассмотрим теперь делитель $d$ с суммой цифр 8. $d$ не делится на $3,$ поэтому числа $d$ и $9$ — взаимно простые, значит, $N$ делится на $9d.$ При этом, если $d≥ 32$ , то $9d≥ 288$ , то есть $2N ≥288.$ Значит, остается проверить $d= 26,d= 17$ и $d= 8$ . Если $d= 26$ , то $9d= 234.$ У этого числа нет делителя с суммой цифр 5, а любое число, ему кратное, больше, чем $288.$

Если $d= 17$ , то $9d =153.$ У этого числа нет делителя с суммой цифр 2 , а любое число, ему кратное, больше, чем $288.$

Если $d= 8$ , то $9d= 72$ . Ему кратные и меньшие, чем 288 - это 144 и 216. Но у этих чисел нет делителя с суммой цифр $5.$

Ответ: 288

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#42537Максимум баллов за задание: 7

Петя в $16$ клетках квадрата $5×5$ записал единицы, а в оставшихся девяти — нули. Петя нашёл все возможные суммы в четырёх клетках, образующих квадрат $2 ×2$ . Оказалось, что сумма шестнадцати чисел, найденных Петей, равна $28$ . В каких клетках записаны единицы?

Источники: Муницип - 2019, 8-9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посчитаем, сколько раз каждая клетка входит в различные квадраты 2 на 2!

Подсказка 2

Верно, угловые клетки входят ровно в один квадратик, боковые клетки в два квадрата, а все остальные в 4. Также, заметим, что угловых клеток ровно 4, боковых 12, а остальных 9. Тогда, если мы расставим ровно 16 единиц, то какая минимальная сумма может быть по всем квадратам 2 на 2?

Подсказка 3

Верно, ровно 28! Осталось понять, когда это достигается и построить пример.

Показать ответ и решение

Поделим клетки на три вида — угловые(4), боковые(12), внутренние(9). Легко видеть, что угловые входят ровно в один квадрат $2×2$ , боковые — в два, а внутренние — в 4. Чтобы сделать сумму по квадратам минимальной (а мы вдруг захотели сделать именно так), нужно взять первые два вида клеток, в сумме их как раз $16$ . Тогда сумма будет равна $4⋅1+ 2⋅12= 28$ , чему она и равна по условию. Но поскольку это единственный способ получить такую сумму, то раскрашены могут быть только все клетки, кроме внутренних.

Ответ:

Во всех, кроме внутренних.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#42539Максимум баллов за задание: 7

Какое минимальное число фишек нужно взять, чтобы при любой их расстановке на клетках шахматной доски обязательно встретились бы $4$ фишки, стоящие друг за другом по горизонтали?

Источники: Муницип - 2019, Астраханская область, 8.5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Покажите, что при 48 фишках найдется такая расстановка, что не будет выполнено условие.

Подсказка 2

Да, это будет расстановка, где в каждой линии сначала три фишки, потом пустая клетка, снова три фишки, и снова пустая клетка! А что делать если фишек уже хотя бы 49?

Подсказка 3

Воспользуйтесь принципом Дирихле)

Показать ответ и решение

Разобьём доску на $16$ горизонтальных прямоугольников $1⋅4$ (разделим доску по строчкам и каждую строчку доски ещё поделим пополам). Если поставлено меньше $49$ фишек, то можно найти расстановку, при которой не будет ни одного полностью заполненного прямоугольника (последовательно будем набирать до $3$ фишек в прямоугольнике). Если же фишек хотя бы $49$ , то по принципу Дирихле в одном из прямоугольников будут все $4$ фишки.

Ответ: 49

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#42540Максимум баллов за задание: 7

Дано натуральное число $n$ . В белой таблице $1000n× 1000n$ некоторые клетки покрашены в черный цвет. Известно, что при любом натуральном $k$ , таком что $2 2 n ≤k≤ n + n− 1$ , в каждом клетчатом прямоугольнике площади $k$ есть хотя бы одна черная клетка. Докажите, что в любом клетчатом прямоугольнике площади $2 n +n$ тоже есть черная клетка.

Источники: Муницип - 2019, 8-9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очень хочется найти в каждом таком прямоугольнике прямоугольник площади k из условия. Как это можно сделать?

Подсказка 2

Давайте представим n²+n в виде a⋅b - произведение его сторон. Докажите, что меньшая из сторон не больше чем n) Чем это нам поможет?

Подсказка 3

Тем, что можно отрезать одну полоску 1⋅(длина меньшей стороны)! Поймите, что у нас получится нужный прямоугольник

Показать доказательство

Пусть $n2+ n= a⋅b$ , где $a≤ b$ — длины сторон прямоугольника, тогда $a≤ n$ , действительно, если это не так, то

2 2 2 2 a⋅b≥a ≥(n+ 1)= n + 2n+ 1> n +n

Отрежем от прямоугольника полоску $a⋅1$ , площадь которой равна $a∈ [1,n]$ , откуда $ab− a ∈[n2+ n− n,n2+ n− 1]=[n2,n2+ n− 1]$ . По условию в таком прямоугольнике $a ⋅(b− 1)$ (понятно, что $b >1$ , ведь иначе $ab =1 <2 ≤n2+ n,n∈ ℕ$ ) есть чёрная клетка, значит, она была и в исходном.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#42789Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AB$ в точке $M$ , а биссектриса угла $A$ пересекает отрезок $CM$ в точке $T$ . Оказалось, что отрезки $CM$ и $AT$ разбили треугольник $ABC$ на три равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольника $ABC$ . В качестве ответа введите через пробел градусные меры углов треугольника в порядке $A,B,C.$

Источники: Муницип - 2019, Астраханская область, 8.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем доказать, что угол ATC - это угол при вершине равнобедренного треугольника. Если это получится, то мы сможем найти 4 равных угла и работать с ними.

Подсказка 2

Проверим, может ли быть BM ≥ BC? Сейчас нам нужно проверить, какие углы являются равными в каждом равнобедренном треугольнике, чтобы составить уравнение на них.

Подсказка 3

Заметим, что BM обязательно < BC по свойству биссектрисы. Проделав аналогичные действия, мы сможем выразить все углы треугольника ABC через одну переменную)

Показать ответ и решение

$PIC$

Как угол между биссектрисами, $∠ATC = 90∘ + ∠AB2C-> 90∘.$ Из условия $△ATC$ равнобедренный, значит, $AT = TC$ , откуда $∠BAK =∠KAC = ∠BCM =∠MCA = α$ . Далее, если $BM ≥BC$ , то по свойству биссектрисы $AB ≥ BC +AC$ , что невозможно, тогда $BM < BC$ . Аналогично $AM > MT$ . Если $MT =AT$ , то $∠AMT =∠MAT = α$ , откуда сумма углов $△AMT$ равна $4α$ ( $∠MT A = 2α$ ) и равна $∠BAC + ∠BCA$ меньше суммы углов $△ABC$ , что невозможно. Отсюда $AM =AT = 2α =⇒ 5α =180∘ =⇒ α = 36∘$ . Осталось проверить, что $∠MBC = ∠MCB =36∘$ и все нужные треугольники равнобедренные.

Ответ: 72 36 72

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#41750Максимум баллов за задание: 7

Андрей, Борис, Василий, Геннадий и Дмитрий играли в настольный теннис парами так, что каждые двое сыграли с каждой другой парой ровно один раз. Ничьих в теннисе не бывает. Известно, что Андрей проиграл ровно 12 раз, а Борис ровно 6 раз. Сколько раз выиграл Геннадий?

Источники: Муницип - 2018, Саратовская область, 8.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, давайте вообще посчитаем кол-во игр. Их 15. А теперь посмотрите на Андрея: он проиграл очень много игр...В скольких играх он в принципе участвовал?

Подсказка 2

Он участвовал в 12 играх, как раз столько, сколько он проиграл) Значит, все кто играл с ним в команде - проиграли эту игру. Попробуйте дальше посчитать кто сколько проиграл и сколько выиграл, считая еще при этом кто с кем играл)

Показать ответ и решение

Первую пару можно составить $5× 4:2= 10$ способами, вторую пару можно составить $3×2 :2 =3$ способами. Всего игр получаем $10× 3:2= 15.$ Андрей всего играл в 4 парах, а они играли с 3 парами. Значит, всего Андрей играл 4×3=12 раз. По условию, он проиграл 12 раз, следовательно, он проиграл все свои игры. Вместе с ним в паре 3 раза проиграл Борис. Поскольку Борис выиграл у Андрея 6 раз, когда играл в паре с Василием (2 раза), с Геннадием, с Дмитрием, то остальные он партии проиграл, то есть 3 с Андреем и по одной с Василием (против Геннадия и Дмитрия), с Геннадием и с Дмитрием. Значит, Геннадий проиграл с Андреем 3 раза и с Борисом 1 раз, всего 4 раза. Поэтому выиграл он 8 раз.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#42787Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике две медианы взаимно перпендикулярны, их длины равны $18$ см и $24$ см. Вычислите площадь треугольника (ответ введите в квадратных сантиметрах).

Источники: Муницип - 2018, Вологодская область, 9.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое отношение у медианы мы знаем? Оно связано с точкой пересечения медиан)

Подсказка 2

То, что медиана точкой пересечения делится в отношении 2 к 1! Попробуйте с помощью этого выразить площадь всего треугольника через маленький треугольник, образованный большими кусочками медиан, а дальше вычислить площадь этого маленького треугольника)

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть это медианы $BE = 18,AD = 24$ в треугольнике $ABC$ и пересекаются они в точке $M$ . В силу свойств медиан,

AM = 2AD =⇒ SABM = 2SABD = 1SABC = BM-⋅AM-= 16⋅12= 96 3 3 3 2 2

Значит, $SABC = 96⋅3= 288$ .

Ответ: 288

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#43945Максимум баллов за задание: 7

На шахматную доску $8×8$ поставили $k$ ладей и $k$ коней так, что ни одна из фигур не бьёт никакую другую. При каком наибольшем $k$ такое возможно?

Источники: Муницип - 2018, Московская область, 8.5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Одна ладья, которую мы ставим на доску забирает сразу 15 клеток! Попробуйте придумать оценку через этот факт

Подсказка 2

Верно, для любой расстановки хотя бы 6 ладей, свободными останутся не более 4 клеток, поэтому ладей не больше 5! Это так, поскольку 6 ладей занимают не менее 6*15 - 2 - 4 - 6 - 8 - 10 = 60 клеток

Подсказка 3

Остаётся придумать пример расстановки 5 ладей и 5 коней

Показать ответ и решение

Все ладьи должны стоять на разных столбцах и строчках. Тогда при $k ≥6$ остаётся не более 4 небитых клеток для коней, и 6 коней уже не расставить.

Пример при $k= 5$ на рисунке.

$PIC$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#78977Максимум баллов за задание: 7

На координатной плоскости построены графики линейной и квадратичной функций:

$PIC$

Уравнение линейной функции имеет вид $y =cx+ 2c$ для некоторого числа $c$ . Используя тот же параметр $c$ , запишите уравнение квадратичной функции.

Источники: Муницип - 2018, Московская область, 9.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на график, какие точки пересечения парабола имеет с осями?

Подсказка 2

Чтобы определить точки пересечения, заметим, что парабола и прямая пересекают оси в одних и тех же точках, тогда, подставляя x = 0 и y = 0 в уравнение прямой, вы получите точки пересечения осей параболой.

Подсказка 3

Ветви параболы направлены вверх, а вершина находится в точке (-2; 0), тогда как будет записано уравнение параболы?

Подсказка 4

Уравнение параболы выглядит следующим образом: y = a(x+2)². Подставив точку пересечения параболы с осью Oy, мы сможем выразить a через c.

Показать ответ и решение

Найдем координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат: $(0;2c)$ и $(− 2;0).$

$PIC$

График квадратичной функции (парабола) касается оси $OX$ в точке $(−2;0),$ следовательно, её уравнение имеет вид $2 y =a(x+ 2) .$

Так как парабола проходит через точку $(0;2c),$ то, подставляя $x= 0,y = 2c$ в полученное уравнение, имеем $2 2c= a⋅2 ,$ откуда $a =0,5c.$

Таким образом, искомое уравнение: $y = 0,5c(x +2)2.$

Ответ:

$y =0,5c(x+ 2)2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#97835Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ из вершин $A$ и $B$ проведены биссектрисы, а из вершины $C$ — медиана. Оказалось, что точки их попарного пересечения образуют прямоугольный равнобедренный треугольник. Найдите углы треугольника $ABC.$

В качестве ответа введите через пробел градусные меры углов $A,B$ и $C.$

Источники: Муницип - 2018, 9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть I — точка пересечения биссектрис треугольника ABC, а медиана CO пересекает проведенные биссектрисы в точках K и L. Может ли ∠AIB быть равным 90°.

Подсказка 2

Правильно, не может! ∠AIB равен 90° + ∠C/2. Поэтому ∠AIB = 135°. Чему тогда равен ∠C?

Подсказка 3

Верно! ∠С = 90°. Что тогда можно сказать про отрезки OB, OC, OA?

Подсказка 4

Точно! Они равны! Без ограничения общности можно считать, что прямым в треугольнике KLI является угол ∠K. Что тогда можно сказать новое про треугольник BOC?

Показать ответ и решение

Пусть $I$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$ , а медиана $CO$ пересекает проведенные биссектрисы в точках $K$ и $L :$

$PIC$

Так как

∠AIB = 90∘+ ∠C-> 90∘, 2

то в полученном треугольнике $KLI$ угол при вершине $I$ равен $45∘.$ Значит,

∠AIB = 135∘ =⇒ ∠ACB = 90∘

Следовательно,

OC =OA = OB

Без ограничения общности можно считать, что прямым в треугольнике $KLI$ является угол $∠K.$ Тогда в треугольнике $BOC$ высота $BK$ совпадает с биссектрисой, поэтому $OB = BC.$ Таким образом, треугольник $BOC$ — равносторонний. Следовательно,

∘ ∘ ∠ABC = 60 =⇒ ∠BAC = 30

Ответ: 30 60 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#41753Максимум баллов за задание: 7

Чиновник весь рабочий день непрерывно отвечает на письма. В начале рабочего дня он обнаружил 130 неотвеченных писем, но в течение дня приходили новые письма. Когда чиновник приступает к ответу на очередное письмо, он делит время, оставшееся до конца рабочего дня, на количество не отвеченных на данный момент писем (включая это письмо) и тратит на ответ ровно столько времени, сколько получилось в частном. Всего за день он ответил на 160 писем. Докажите, что было 6 писем, на которые он потратил одинаковое время. (Считается, что перерыва на обед нет и что никакое новое письмо не приходит в тот момент, когда чиновник начинает отвечать на очередное письмо.)

Источники: Муницип - 2017, Санкт-Петербург, 9.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Про какие письма мы точно можем сказать, что чиновник потратил на них одинаковое количество времени?

Подсказка 2

Про те, между которыми писем не приходило! А сколько новых писем вообще пришло? Между всеми ли письмами могли приходить новые?

Подсказка 3

Заметим, что пришло 30 новых писем, а всего писем было целых 160! Было бы хорошо, если бы у нас были какие-то объекты побольше, чем одно письмо, на которые мы могли бы разделить все наши письма, чтобы между какими-то из таких объектов новых писем не пришло…тогда и 6 писем с одинаковым временем тоже бы накопилось :)

Показать доказательство

Во-первых, давайте считать, что во время ответа на последнее письмо, на которое чиновник всё-таки ответил, письма не приходили: он бы на эти письма не ответил, и их всё равно можно не учитывать. Получается, что к концу дня чиновник ответил на все письма, и ровно 30 писем он получил.

Если между двумя письмами чиновнику не приходят новые, то он тратит на эти письма одинаковое время. Разобьём все письма на пятёрки подряд идущих (в том порядке, в котором чиновник на них отвечал). Пятёрок $160:5= 32$ , а новых писем — всего 30. Значит, хотя бы для каких-то двух пятёрок во время ответов на эти письма новые письма не приходили. Минимум одна из этих пятёрок — не последняя. Тогда на эти пять писем и на следующее чиновник потратил одинаковое время — вот мы и нашли нужные 6 писем.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#42535Максимум баллов за задание: 7

Вася утверждает, что нарисовал прямоугольник на клетчатой бумаге, который можно разрезать по сторонам клеток на одну полоску $1×37$ клеток и 135 трёхклеточных уголков. Прав ли Вася?

Источники: Муницип - 2017, Красноярский край, 8.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, а чему равна площадь искомого прямоугольника со слов Васи?

Подсказка 2

Да, площадь равна 37+3*135 = 2*13*17=442. Тогда какой прямоугольник у нас может быть?

Подсказка 3

Верно, может быть прямоугольник со сторонами 2 и 221, либо со сторонами 1 и 442! А из каждого ли можно вырезать уголок?

Подсказка 4

Нет, из полоски длинной 442 уголок вырезать никак не получится! А если в прямоугольнике со сторонами 2 и 221 вырезать полоску из 37 клеток, то получится ли как-то разрезать на уголки оставшуюся полоску из 37 клеток, которую мы не вырезали?

Показать ответ и решение

Площадь такого прямоугольника равна $3 ⋅135+ 37= 442 =2⋅13⋅17$ . По условию какая-то его сторона не меньше $37$ , потому возможны два случая: стороны равны $2,221$ или $1,442$ . Во втором случае ни один уголок вырезать нельзя. В первом же после вырезания полоски останется полоса $1⋅37$ , вдоль которой также нельзя будет вырезать уголки, то есть Вася не прав.

Варианты правильных ответов:

нет
Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#42786Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ биссектрисы углов $BAC$ и $ABC$ пересекаются в точке $O$ . Найдите градусную меру угла $ACB$ , если угол $AOB$ равен $∘ 125.$ В ответ внесите число.