Тема Муниципальный этап ВсОШ

Муниципалка 10 - 11 класс

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела муниципальный этап всош

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#68206Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ построена точка $D$ , симметричная центру $I$ вписанной окружности относительно центра $O$ описанной окружности. Докажите, что

2 2 AD = 4R − AB ⋅AC,

где $R$ – радиус описанной окружности треугольника $ABC.$

Источники: Муницип - 2020, Москва, 11.6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нас просят доказать какое-то тождество, связанное с квадратом диаметра. Было бы разумно нарисовать его на картинке. Наверное, надо будет провести диаметр AP, т.к. наша задача крутится вокруг точки A. Что мы можем сказать про четырехугольник ADPI...

Подсказка 2

Это параллелограмм. Действительно, IO=OD по условию, а AO=OP как радиусы. Тогда AD=IP. Пускай AI пересекает описанную окружность в точке W. Тогда PWA- прямой. Нам нужно найти связь между AD и диаметром, что то же самое, что связь между IP и AP. Попробуйте найти её, если мы знаем, что треугольники APW и IPW- прямоугольные...

Подсказка 3

Если записать теоремы Пифагора для этих треугольников, то можно установить, что AP²-IP²=AW²-IW². Тогда нам осталось доказать, что AB*AC=AW²-IW². У нас листок на лемму о трезубце, а мы до сих пор ею не воспользовались. Надо исправлять!

Подсказка 4

По лемме о трезубце WB=WI=WC. Тогда W- центр описанной окружности треугольника CIB. Тогда AW²-IW² это не что иное, как степень точки A относительно этой окружности. Осталось только доказать, что степень точки A равна AB*AC...

Подсказка 5

Заметим, что W лежит на биссектрисе ∠BAC. Тогда описанная окружность треугольника BIC симметрична относительно AW. Теперь отметьте вторую точку пересечения прямой AB c этой окружностью и запишите произведение секущей на внешнюю часть, и будет вам счастье!

Показать доказательство

$PIC$

Пусть биссектриса $AI$ пересекает описанную окружность в точке $W$ . Проведем диаметр $AP$ . Тогда $ADP I$ - параллелограмм и $AD = PI$ . Тогда доказываемое равенство можно записать в виде:

AB ⋅AC = 4R2 − AD2 = AP2 − PI2 (1)

Кроме того, так как $AP$ - диаметр окружности, то угол $AW P$ - прямой. Тогда правую часть равенства (1) можно преобразовать:

AP 2− PI2 = (AW 2 +PW 2)− (W R2 +PW 2)= AW 2− WR2

Таким образом, задача сводится к доказательству равенства

AB ⋅AC =AW 2− W I2 (2)

Воспользуемся известным фактом: $W B =W C =W I$ , который называют теоремой трилистника или леммой о трезубце. Центр $W$ описанной окружности треугольника BIC лежит на биссектрисе угла $BAC$ , поэтому точки пересечения этой окружности со сторонами угла $BAC$ попарно симметричны относительно биссектрисы $AW$ . В частности, симметричны точки $C$ и $E$ , значит, $AE = AC$ .

Пусть $AT$ - касательная к описанной окружности треугольника ВIC. Тогда

2 AB ⋅AE = AT (3)

Из треугольника $AW T$ по теореме Пифагора

AT 2 = AW 2− W T2 =AW 2− W R2 (4)

Из равенств (3) и (4), учитывая также, что $AC = AE$ , получим:

AB ⋅AC = AB ⋅AE =AT 2 = AW 2− W I2,

то есть равенство (2), которое равносильно утверждению задачи.

В заключительной части решения можно обойтись без теоремы Пифагора, если использовать степень $s$ точки $A$ относительно окружности $(BIC ):$

s= AB ⋅AE =AB ⋅AC = AW 2− W I2

Это утверждение, равно как и теорему о трилистнике, школьники могут использовать без доказательства.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#68248Максимум баллов за задание: 7

При каких натуральных $n$ существуют натуральные $a$ и $b$ такие, что

a b n!=2 + 2?

Источники: Муницип - 2020, Москва, 11.5

Показать ответ и решение

Рассмотрим остатки от деления степеней двойки на 7: 1, 2 и 4. Значит, сумма двух степеней двойки не может давать остаток 0 при делении на 7 , поэтому левая часть равенства не делится на 7 . Следовательно, $n$ ! не делится на 7 , то есть $n< 7$ .

Далее осуществляем перебор для значений $n$ от 1 до 6 . Очевидно, что $n ⁄= 1$ и $n⁄= 2$ . Для $n =3a= 2;b= 1$ . Для $n =4a =4;b= 3$ . Для $n =5$ или $n= 6$ одна из степеней двойки должна быть хотя бы половиной от общей суммы, но в этом случае подходящих вариантов не будет. Действительно, $7 6 6 6 5 2 = 2+ 2 > 120 =5!> 2 +2$ и $10 9 9 9 8 2 = 2 +2 > 2 + 2$ $8 8 >720= 6!>2 + 2$ .

Ответ:

${3;4}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#72733Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что дробь $m(n+1)+1 m(n+1)−n$ несократима для всех натуральных значений $n$ и $m.$

Источники: Муницип - 2020, 11 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, что дробь a/b несократима тогда и только тогда, когда НОД(a, b)=1. Пусть a=m(n+1)+1, b=m(n+1)-n. Какой алгоритм мы должны проделать, чтобы найти НОД(a, b)?

Подсказка 2

Конечно, алгоритм Евклида! Получается, что наш НОД равен НОД(n+1, m(n+1)-n). Видно, что m(n+1)-n имеет остаток 1 при делении на n+1. Подумайте, когда такое может быть, и завершите доказательство!

Показать доказательство

Предположим, что это не так. Тогда разность между числителем и знаменателем, равная $n+ 1,$ делится на их общий делитель $d> 1.$ Тогда $1= (m(n+ 1)+1)− m(n+ 1)$ делится на $d.$ Противоречие.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#77793Максимум баллов за задание: 7

Какое наименьшее количество клеток нужно отметить на доске размером $8× 9$ так, чтобы среди любых пяти подряд идущих клеток по горизонтали, вертикали или диагонали была отмеченная клетка?

Источники: Муницип - 2020, Москва, 11.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем придумать оценку. Условие слишком сильное, давайте забудем про диагонали. Тогда как логичнее всего представить условие задачи?

Подсказка 2

Если мы на доску положим полоску 1x5 или 5x1, то в ней обязательно должна быть отмеченная точка! Попробуйте теперь как-то "почти" замостить доску такими полосками и оценка получена! Осталось придумать пример, который подходит под изначальное условие)

Показать ответ и решение

Пример, когда $14$ клеток хватает:

$PIC$

Покажем, что меньше $14$ клеток не хватит. Для этого выделим на доске $14$ прямоугольников размером $1× 5$ , не затрагивающие только две центральные клетки. В каждом из них должно быть хотя бы по одной отмеченной клетке, то есть отмеченных клеток не меньше, чем $14$ .

$PIC$

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#101072Максимум баллов за задание: 7

В турнире по шахматам каждый из $10$ игроков сыграл с каждым по одной партии, и Петя занял последнее место (набрал меньше очков, чем любой другой участник). Потом одного игрока дисквалифицировали, и все очки, набранные во встречах с ним, аннулировали, и этого игрока исключили из таблицы. Мог ли в результате Петя стать победителем турнира (набрать больше очков, чем любой другой участник)?

Источники: Муницип - 2020, 10 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем количество игр, поэтому можем посчитать количество очков! Оно равно 10*9/2 = 45. Как оценить количество очков, которое набрал абсолютный победитель (до того, как одного участника исключили) и сколько в таком случае максимально мог набрать Петя?

Подсказка 2

45/10 = 4.5 — минимальное количество очков, которое набрал победитель. А значит, Петя мог набрать не более 4 очков. Что получится, если мы сделаем такое же действие, но для турнира на 9 человек? (то есть после того, как одного удалили)

Подсказка 3

В турнире на 9 человек, количество очков — 9*8/2 = 36. Значит победитель набрал не менее 4 очков!

Показать ответ и решение

В турнире с 10 игроками, проходящем в 1 круг, разыгрывается $10⋅9= 45 2$ очков. Поэтому найдется игрок, набравший не более $45:10= 4,5$ очков. Значит, Петя, занявший абсолютное последнее место, набрал не более 4 очков. Аналогично, в турнире с $10− 1 =9$ игроками, проходящем в 1 круг, разыгрывается $9⋅8 2 = 36$ очков. Остальные 8 игроков набрали не менее 32 очков. Значит, найдется игрок (отличный от Пети), набравший (после пересчета) не менее $32:8= 4$ очков. Поэтому Петя не мог стать абсолютным победителем турнира.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#101082Максимум баллов за задание: 7

В одной компании среди любых $9$ человек есть два человека, которые знают друг друга. Докажите, что в этой компании найдется группа из восьми человек такая, что каждый из остальных знает кого-нибудь из этой группы.

Источники: Муницип - 2020, 10 класс

Показать доказательство

Рассмотрим наибольшую группу попарно незнакомых между собой людей.

В ней не более восьми человек, иначе среди них есть девять человек, среди которых нет двух знакомых, что противоречит условию.

Так как это максимальная группа, то любой из остальных знаком с кем-то из этой группы.

В случае необходимости добавим в неё несколько человек, чтобы в ней стало восемь человек, как требуется по условию задачи.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#41757Максимум баллов за задание: 7

Число $890$ обладает таким свойством: изменив любую его цифру на $1$ (увеличив или уменьшив), можно получить число, кратное $11.$

Найдите наименьшее трёхзначное число, обладающее таким же свойством.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

У числа 890:

увеличив первую цифру на 1, получим $990 =11⋅90$
уменьшив вторую цифру на 1, получим $880= 11⋅80$
увеличив третью цифру на 1, получим $891 =11⋅81$

Источники: Муницип - 2019, 11 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если наше число при изменении любой цифры становится кратно 11, то это значит, что число, которое кратно 11 отличается от нашего числа на 1. Интересно. Но нам нужно минимальное число, а значит нужно рассматривать минимальные кратные 11 и трехзначные. Попробуйте поперебирать минимальные кратные 11 и трехзначные, так, чтобы одно из соседних чисел к данному удовлетворяло условию.

Подсказка 2

110 не подходит, так как ни 109 ни 111 не удовлетворяют условию. А вот 121 подходит, так как 120 удовлетворяет условию. Действительно, если увеличить последнюю цифру на 1, или уменьшить первую на 1, или увеличить вторую на 1, то полученное число будет кратно 11.

Показать ответ и решение

Так как при указанном изменении последней цифры должно получиться число, делящееся на 11 , то искомое число должно отличаться от него на $1.$ Наименьшее трехзначное число, кратное 11, это 110. Но соседние с ним числа 109 и 111 требуемым свойством не обладают. Действительно, если изменить в числе 109 вторую цифру на 1, то можно получить только 119 , а это число на 11 не делится. Если изменить в числе 111 первую цифру на 1, то можно получить только 211, а это число на 11 не делится.

Следующее трехзначное число, делящееся на 11, это 121. Рассмотрим число $120.$ Из него можно получить числа, кратные 11, в соответствии с условием. Изменённые числа $121,110,220$ кратны $11.$

Ответ: 120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#41759Максимум баллов за задание: 7

Назовем натуральное число $n$ новогодним, если число $n12+ 2018$ делится на $2019.$ Докажите, что среди чисел $1,2,...,2018$ чётное число новогодних чисел.

Источники: Муницип - 2019, Смоленская область, 11.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если мы сразу не можем понять, почему требуемое выполнено и у нас есть некоторая сумма/последовательность , то можно попытаться красиво разбить на пары и посмотреть, как связаны два этих элемента. К тому же в задаче, где просят доказать что-то про четность кол-ва элементов с нужным свойством, зачастую требуется каждому числу, которое удовлетворяет условию сопоставить число, которое также удовлетворяет ему. Что и предлагаю вам сделать!

Подсказка 2

Верно, мы можем разбить опять на пары вида k и 2019 - k. Основной наш вопрос в этой задаче - остаток по модулю 2019. Чему он равен у 2019 - k?

Подсказка 3

Конечно, он равен (2019 - k) ^ 12 = k ^ 12(mod 2019), так как все остальные члены при разложении через бином Ньютона, будут кратны 2019. А значит, если число k подходило, то и число 2019 - k подойдет. Значит, таких чисел четное количество.

Показать доказательство

Разобьём все числа $1,2,...,2018$ на пары вида $k$ и $2019− k.$ Найдём остаток от деления числа $(2019− k)12+2018$ на $2019,$ получим:

(2019− k)12+ 2018 = 12 11 11 12 =2019 + 12⋅2019 ⋅(− k)+ ...+ 12⋅2019⋅(−k) + (−k) + 2018 ≡ ≡(−k)12 +2018= k12+ 2018 (mod 2019)

Таким образом, остатки от деления на $2019$ в каждой паре совпадают. Значит, количество новогодних чисел чётно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#42192Максимум баллов за задание: 7

Двадцать одна девочка и двадцать один мальчик принимали участие в математическом конкурсе. Каждый участник решил не более шести задач. Для любых девочки и мальчика найдётся хотя бы одна задача, решённая обоими. Докажите, что была задача, которую решили не менее трёх девочек и не менее трёх мальчиков.

Источники: Муницип - 2019, Воронежская область, 11.3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пойдём от противного, чтобы добавить себе условие на то, что каждую задачу решили не более двух девочек или не более двух мальчиков. Для удобства будем считать задачу «красной», если её решили не более двух девочек и «чёрной»» в противоположном случае (тогда её решили не более двух мальчиков). Давайте так же перейдём к шахматной доске 21х21, где каждый столбец это мальчик, а строка - девочка, чтобы каждая клетка отражала ту задачу, которую они оба решили.

Подсказка 2

Давайте попробуем отталкиваться от тех условий, которые мы ещё не использовали, например: "Каждый участник решил не более шести задач". Если мы рассматриваем строку, то не больше, чем 2 чёрные клетки относятся к одной задачке, потому что иначе бы как минимум 3 мальчика решили задачу с чёрной клетки. Хорошо было бы найти строку с большим кол-вом чёрных клеток, чтобы воспользоваться условием на 6 задач, а какой факт помогает нам так оценивать?

Подсказка 3

Верно, это принцип Дирихле, попробуйте как-то оценить кол-во чёрных клеток в строке и красных клеток в столбцах.

Подсказка 4

Да, в какой-то строке обязательно будет как минимум 11 чёрных клеток, что мы тогда можем сказать про кол-во задач, которые решила эта девочка? А сколько тогда мальчиков имеют общую решённую задачу с этой девочкой?

Показать доказательство

Представим шахматную доску с $21$ -й строкой, каждая из которых соответствует девочке, и $21$ -м столбцом, каждый из которых соответствует мальчику. Тогда каждая клетка соответствует паре «мальчик-девочка».

Предположим, что каждую задачу решили не более двух девочек или не более двух мальчиков. Будем считать задачу «красной», если её решили не более двух девочек и «чёрной»» в противоположном случае (тогда её решили не более двух мальчиков). Каждую клетку покрасим в цвет какой-нибудь из задач, которую решили и мальчик-столбец, и девочка-строка.

По принципу Дирихле в каком-нибудь столбце найдётся $11$ красных клеток, или в какой-нибудь строке найдутся $11$ чёрных клеток (потому что иначе получится, что всего клеток не более чем $2 21× 10 +21× 10< 21$ ).

Рассмотрим для определённости найденную девочку-строку, содержащую хотя бы $11$ чёрных клеток. Аналогично разбирается случай, если вместо этого (чёрных клеток в строке) найдутся $11$ красных клеток в каком-нибудь столбце и разбирать нужно для мальчика.

Каждой из найденных чёрных клеток соответствует задача, решённая максимум двумя мальчиками. Тогда мы можем указать не менее 6 различных задач, решённых этой девочкой. В силу первого условия из задачи никаких других задач девочка не решала, но тогда максимум $12$ мальчиков имеют общие решённые задачи с этой девочкой, что противоречит второму условию из задачи.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#42193Максимум баллов за задание: 7

В однокруговом шахматном турнире (каждый шахматист играет с каждым одну партию) участвовало 20 шахматистов, причём 6 из них – из России. Известно, что набрав очков больше, чем кто-либо, первое место занял россиянин Владимир. Второе место занял Левон из Армении, также опередив по очкам каждого из остальных 18 шахматистов. Какое наибольшее суммарное количество очков могли набрать российские шахматисты? (В шахматах за победу в партии даётся одно очко, за ничью – пол-очка, за поражение очков не дают.)

Источники: Муницип - 2019, Свердловская область, 11.6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим для начала, что в каждой игре разыгрывается одинаковое кол-во очков (1+0 = 0+1 = 0.5+0.5). В этой задачке спрашивается про суммарное кол-во очков какой-то команды, а в силу того, что за каждую игру разыгрывается одинаковое кол-во очков, то при любых исходах между участниками команды, вся команда получает фиксированное кол-во очков. Это очень популярный сюжет в таких играх, где мы получаем "бесплатно" минимальное кол-во очков, которое заработала команда за турнир.

Подсказка 2

Давайте попробуем построить пример и доказать, что он подходит. Мы уже поняли, что между россиянами партии приносят один и тот же результат, тогда хотелось бы, чтобы они выиграли у каждого иностранца, кроме Владимира и Левона, потому что им нужно много очков, чтобы быть на 1-ом и 2-ом местах соответственно. Можно попробовать примерно оценить, сколько получит россиянин очков, посчитав кол-во игр между россиянами и россиянами с иностранцами. Попробуйте построить пример, где суммарное кол-во очков у россиян равно 96.

Подсказка 3

Перейдём к оценке, покажем, что 96,5 и более не могло получиться. Попробуйте посчитать кол-во очков, которые разыгрывались между россиянами и иностранцами, а затем понять, сколько максимум очков мог получить иностранец.

Подсказка 4

Верно, каждый иностранец не мог получить больше 2,5 очков, тогда даже, если он победит всех оставшихся иностранцев, то получит не более 15,5 очков. Что мы тогда можем сказать про максимальное кол-во очков, которые мог набрать россиянин при условии, что его должен обогнать иностранец - Левон? А сколько тогда должен набрать Владимир при условии, что россияне набрали не менее 96,5 баллов?

Показать доказательство

Приведем пример, показывающий, что суммарно российские шахматисты могли набрать 96 очков. Пусть Владимир выиграл все свои партии, кроме партии с Левоном, которая завершилась вничью. Пусть, кроме того, Левон сыграл вничью и со всеми остальными россиянами, а у не россиян неизменно выигрывал. Наконец, пусть все остальные партии между россиянами завершились вничью, а иностранцев, кроме Левона, все россияне победили. Тогда Владимир набрал $18⋅1+1 ⋅0,5= 18,5$ очков, Левон набрал $13⋅1+ 6⋅0,5 =16$ очков, каждый из остальных россиян набрал $13 ⋅1 +5⋅0,5= 15,5$ очков, а каждый из остальных тринадцати игроков - не более, чем 12 очков. Условие задачи в этом случае выполнено, а количество очков набранных всеми россиянами равно $18,5+5 ⋅15,5= 96$

Покажем, методом от противного, что больше очков россияне набрать не могут. Пусть они в сумме набрали 96,5 очков или больше. В 15-и партиях между собой они взяли в сумме 15 очков, а остальные (не менее 81,5 $)$ взяты в партиях с представителями других стран. Таких партий россиянин - не россиянин было $6⋅14= 84$ , и в них разыгрывалось всего 84 очка. Тогда все иностранцы в партиях с россиянами набрали не более 2,5 очков, и никто из них, в том числе Левон, не мог набрать в сумме более, чем $13+ 2,5 =15,5$ очков. Пятеро россиян, которых он опередил, набрали при этом не более 15 очков каждый, а тогда Владимир должен набрать не менее $96,5− 15⋅5= 21,5$ очка. Но он сыграл всего 19 партий, и потому набрать более 19 очков не мог. Противоречие.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#42194Максимум баллов за задание: 7

Двадцать человек, среди них $A,B,C$ , случайным образом садятся за круглый стол. Какова вероятность того, что, по крайней мере, двое из $A,B,C$ сидят рядом друг с другом?

Ответ дайте в виде обыкновенной несократимой дроби, например “1/2”.

Источники: Муницип - 2019, Таймырский автономный округ, 11.5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам важна только позиция каждого из A,B,C, а не позиция каждого человека, поэтому можно проверять правильность рассадки только для A,B,C, тогда будем выбирать номера мест только для них. Для удобства во всех рассадках можно не учитывать порядок.

Подсказка 2

Полезно разбить задачу на подзадачи, которые легко решаются, какие 2 случая можно выделить, чтобы счёт стал удобнее?

Подсказка 3

Да, можно посчитать сначала кол-во благоприятных вариантов, когда A,B,C сидят рядом, а потом, когда только 2 из 3 сидят рядом, причём не важно какие 2 из 3, если мы не учитываем их порядок.

Подсказка 4

Чтобы посчитать в первом случае зафиксируйте самого левого из трёх, так как по нему однозначно строится последовательность из мест, затем двигайте его. Во втором случае так же фиксируем самого левого, по нему однозначно понимается позиция второго и ясно, какие места доступны для оставшегося, остаётся аккуратно всё посчитать.

Показать ответ и решение

Перенумеруем места за столом по часовой стрелке от 1 до 20. Будем считать исходом любой (неупорядоченный) набор из трёх номеров мест, на которых сидят $A,B,C$ , а благоприятным исходом - неупорядоченный набор из трёх номеров мест, на которых сидят $A,B,C$ , если номера не являются соседними числами (у числа 20 соседние - 19 и 1).

Число всех исходов равно $20⋅19⋅18- 6 = 20⋅57$ , поскольку первое место можно выбрать 20 способами, второе - 19, третье - 18, но мы условились считать неупорядоченные наборы, поэтому делим на число перестановок трех элементов $3!= 6.$ Для благоприятных ситуаций есть две возможности.

1) Все трое сидят рядом, то есть занимают места $(1,2,3),(2,3,4),...,(20,1,2).$ Очевидно, таких троек $20.$

2) Ровно двое сидят рядом, то есть занимают места $(1,2),(2,3),...,(20,1)$ , всего 20 пар мест. Если $A$ и $B$ , например, заняли места $(6,7)$ , то третий не может занимать места $5,6,7,8$ , но может занять любое из оставшихся мест, которых осталось 16. По принципу умножения число благоприятных исходов в этом случае равно $20 ⋅16$ , а общее число благоприятных исходов равно $20+ 20 ⋅16= 20⋅$ 17.

По классическому определению вероятности $p = 2020⋅1⋅577 = 1577.$

Ответ: 17/57

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#42924Максимум баллов за задание: 7

Известно, что

1 sinxcosy = cosxsiny = 2.

Найдите $cos2x− sin2y$ . В ответ внесите возможные значения через пробел в порядке возрастания.

Источники: Муницип - 2019, 10-11 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Части нашего равенства sin(x)cos(y)=cos(x)sin(y) подозрительно напоминают нам разложение sin(x-y)... Что это нам дает?

Подсказка 2

Верно, sin(x-y)=0! Получается, что x и y отличаются на πn, а значит sin(x) не может сильно отличатся от sin(y). Как тогда можно переписать равенство cos(x)sin(y)=1/2?

Подсказка 3

Верно, sin(2x)=(-1)ⁿ! Аналогично sin(2y)=(-1)ⁿ. Какие тогда значения может принимать выражение cos(2y)-sin(2x)?

Подсказка 4

Т.к. cos(2y)=0 ⇒ cos(2y)-sin(2x)=-(-1)ⁿ. Получается, что все возможные значения это 1 и -1. Предъявите x и y, при которых они достигаются, и радуйтесь жизни!

Показать ответ и решение

Из первого равенства имеем $sin(x− y) =0 ⇐⇒ x =y+ πn,n∈ ℤ$ , то есть $siny = (−1)n sinx,cosy = (−1)n cosx$ . Отсюда

n n sin2x= 2sinxcosx= 2⋅(− 1) sinx cosy = (−1)

и $sin 2y =(−1)n$ , откуда могут быть только значения

cos2x− sin2y = 0± 1

Равенства достигаются, например, при $(x,y)= (− π4,3π4 ),(π4,π4)$ .

Ответ: -1 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#75450Максимум баллов за задание: 7

График квадратичной функции $y = ax2 +c$ пересекает оси координат в вершинах правильного треугольника. Чему равно $ac$ ?

Источники: Муницип - 2019, 10-11 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала разберемся со знаками. Очевидно, что ac < 0, так как если больше, то парабола лежит целиком выше оси OX или целиком ниже, а значит точек пересечений с ней не имеет. Значит и a/c < 0. Теперь разберемся что такое точки пересечения с каждой из осей. С осью OX точки пересечения это…

Подсказка 2

Это корни нашего уравнения! А с OY - значение в нуле(по модулю). Но ведь и корни и значение в нуле мы знаем не так ли? А еще знаем, что расстояние между корнями равно значению в 0. Что это может дать?

Подсказка 3

Ну понятно, что это может дать. Находим расстояние между корнями, значение в нуле, откуда расстояние между точкой пересечения OY и одной из точек пересечения OX. В итоге находим значение ac = -3.

Показать ответ и решение

Одно из пересечений с осью абсцисс обозначим за $X$ , пересечение с осью ординат обозначим за $Y$ , $O$ — начало координат. Тогда $∘ -c- OX = −a$ , $OY = |c|$ . По теореме Пифагора $∘ -2--c XY = c − a$ . $∘ ∠OXY = 60$ , а значит $2OX = XY$ , то есть $∘ --c ∘-2--c 2 −a = c − a$ , откуда $-c 2 − 3⋅a = c$ . Если $c= 0$ , то график бы не пересекал оси координат в вершинах треугольника, тогда сократим на $c$ и получим $ac= −3$ .

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#41756Максимум баллов за задание: 7

Найдите все целые решения уравнения

x 2 3 ⋅2 + 1= y

Источники: Муницип - 2018, Красноярский край, 11.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что х >= 0. Какой четности может быть у? А что это нам дает? А как мы можем представить у, если он ,к примеру, нечетный?

Подсказка 2

Верно, если х = 0, то у равен +-2 а если х > 0, то у уже нечетный. Значит, y = 2k + 1. Подставим это значение и, после деления на 4(а если x <= 2 рассмотрим отдельно) получим уравнение 3 * 2^(x - 2)= k(k + 1). Что теперь можно сказать насчет k? А если посмотреть на то, как связаны k и k+1? Может ли k быть равно 3 * 2^c?

Подсказка 3

k и k + 1 - это взамнопростые числа, а значит, если их произведение равно 3 * 2 ^ (x - 2), то 3 * 2^(x - 2) должно разбиваться на 2 взаиинопростых делителя, которые в произведение дадут 3 * 2^(x - 2). Значит эти числа могут быть равны только 3 и 2^(x - 2). Осталось рассмотреть два случая и учесть что это соседние числа.

Показать ответ и решение

Заметим, что $x≥ 0$ (иначе $y$ не целое). Если $x =0$ , то $y =±2$ . Пусть $x$ — натуральное, тогда $y$ нечётное, обозначим $y =2k+ 1.$

Получаем

x 2 3⋅2 + 1= (2k+ 1)

x 2 3 ⋅2 =4k + 4k

3⋅2x−2 =k(k+ 1)

Поскольку $k$ и $k+ 1$ взаимно просты, возможны случаи $k= 3,k +1 =2x−2$ или $k+ 1= 3,k= 2x−2.$

Первый случай даёт ответ $x= 4,y =7$ , во втором случае $x= 3,y = 5.$

Ответ:

$(0,±2),(3,±5),(4,±7)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#41758Максимум баллов за задание: 7

Сумму $1+ 1+ 1+ ⋅⋅⋅+ -1-, 2 3 p−1$ где $p$ – нечётное простое число, представили в виде несократимой обыкновенной дроби. Докажите, что числитель этой дроби делится на число $p$ без остатка.

Источники: Муницип - 2018, Свердловская область, 11.2 (см. tasks.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Зачастую, в таких задачах, с некоторыми суммами и/или последовательностями объектов, нужно разбивать числа на пары и смотреть на объекты из пары, так как нередко, по отдельности про числа ничего не скажешь, но вот при разбитии на пары появляется ряд свойств. Попробуйте разбить числа на пары и посмотреть на сумму в каждой.

Подсказка 2

Разобьем на пары 1/t и 1/(p - t). Их сумма будет равна p/t(p - t). Вынесем р из каждой такой суммы и получится, что наша сумма равна p * (…). Получается, мы решили задачу?

Подсказка 3

Нет, не совсем. Осталось понять, почему ничто из знаменателя не может сократить р. Ну это просто, ведь каждый множитель меньше р, а значит, взаимнопрост с ним(не забываем, что р - просто число). А вот теперь - мы точно решили задачу.

Показать доказательство

Всего слагаемых здесь $p− 1,$ из условия следует, что это чётное число. Тогда мы можем разбить слагаемые на пары: первое — с последним, второе — с предпоследним и т. д. Получим $p−1- 2$ сумм вида

1 1 p t +p-− t =t(p− t)

В итоге сумма из условия равна

p∑−21 1 p t(p−-t) t=1

и кратна $p,$ ведь после приведения суммы дробей к общему знаменателю в знаменателе получится

p∏−21 t(p− t)= (p− 1)! t=1

Поскольку $p$ простое, знаменатель $(p − 1)!$ не содержит множителя $p.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#42188Максимум баллов за задание: 7

Гномы Глоин, Оин и Траин нашли $70$ одинаковых драгоценных камней и хотят разделить их между собой так, что каждый из них получит не менее $10$ камней. Сколькими способами гномы смогут это сделать?

Источники: Муницип - 2018, Красноярский край, 11.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, давайте поймём, что если у каждого гнома есть 10 камней, то есть и 9. Выдадим каждому гному 9 камней(они одинаковы, так что можно в любом порядке). После этого у нас осталось 43 камня, сколькими способами их можно разделить между тремя гномами, чтобы каждому достался хотя бы один?(из этих 43)

Подсказка 2

Для этого вспомним идею шаров и перегородок! Выложим 43 камня в ряд, тогда нам надо поставить между ними 2 перегородки, причем так, чтобы в каждой части был хотя бы один камень. Сколько способов поставить две перегородки?

Подсказка 3

Верно, для перегородок у нас есть ровно 42 места! В таком случае, ответом на задачу будет число сочетаний из 42 по 2.

Показать ответ и решение

Выдадим каждому гному по $9$ камней, а оставшиеся $43$ камня выложим в ряд. Чтобы разделить оставшиеся камни между гномами, достаточно расположить на $42$ места между камнями два разделителя. Глоин получит камни левее первого разделителя, Оин – камни между двумя разделителями, а Траин – камни правее второго разделителя. Число способов расположить эти два разделителя равно $42⋅41 2 = 861.$

Ответ: 861

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#42190Максимум баллов за задание: 7

На шахматной доске расставлены четыре ладьи так, что они бьют все белые клетки.

(a) Приведите пример такой расстановки.

(b) Определите количество таких расстановок.

Источники: Муницип - 2018, Республика Башкортостан, 11.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут кажется, что всего четырьмя фигурами закрыть половину поля довольно трудно. Может, для начала сначала стоит подумать как такое вообще возможно? Посмотрим, сколько всего белых клеток есть на поле и сколько белых клеток может бить одна ладья. Обратите внимание, меняется ли количество покрываемых белых клеток от расположения ладьи на поле.

Подсказка 2

Верно подмечено, если хотим закрыть все 32 поля, то ладьи должны стоять только на чёрных полях и закрывать 8 клеток. В какую сторону ещё можно подумать? Доска, клеточки... может, нам поможет разбиение? Ладьи, которые бьют всё, что стоит с ними на линии, наталкивают на мысль о разбиении на полосы в несколько линий...

Подсказка 3

Как вариант: условно разделить поле на 4 полосы (по 2 линии в каждой). Попробуем порасставлять на них ладьи? Например, что если их вообще не будет на одной из полос? такое возможно?

Подсказка 4

Правильно, в таком случае 8 белых клеток должны по вертикали закрывать 8 ладей, но это противоречит условию, так что в каждой такой полосе (по вертикали и горизонтали) должна быть ладья. При этом эти полосы также разбивают поле на 16 квадратов. Остаётся только посчитать количество способов расставить ладьи по этим квадратам так, чтобы в каждой диагонали и вертикали была только одна ладья! (и не забудьте про то, что внутри клетки ладью можно ставить двумя способами)
скажи, так работает?

Показать ответ и решение

На шахматной доске белых клеток $32.$ При этом, если ладья расположена на белой клетке, то она бьет $7$ белых клеток, если же на черной клетке, то 8 клеток.

1) Поскольку ладей всего $4$ , а белых клеток $32$ , то ладьи должны стоять только на черных клетках. Рассмотрим разбиение шахматной доски на 4 одинаковых полосы по вертикали и 4 по горизонтали (каждая полоса представляет собой объединение двух соседних линий).

2) Если на какой-то полосе (объединении двух соседних линий), для определенности на горизонтальной, нет ни одной ладьи, то 8 белых клеток этой полосы должны биться 8 ладьями по вертикали, что противоречит условию задачи.

3) Следовательно, на каждой из 4-х горизонтальных и 4-вертикальных полос стоит ровно 1 ладья.

Горизонтальные и вертикальные полосы, пересекаясь, образуют 16 клеток размера $2× 2$ ( $2$ черных и $2$ белых клетки ). Для определения требуемого расположения ладей необходимо указать по одной клетке на каждой горизонтали так, чтобы на одной вертикальной полосе была только одна клетка (см. п. 1). Всего таких способов выбора клеток будет $4× 3× 2×1.$ Учитывая утверждения 1) и 2) внутри каждой клетки ладью можно расставить двумя способами и получить количество расстановок $2× 4!=48.$

Ответ:

(a)

$PIC$

(b) 48

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#42541Максимум баллов за задание: 7

Некоторые клетки доски $11× 35$ отмечены. Назовем клетки соседними, если они имеют общую сторону. Оказалось, что у каждой клетки есть, по крайней мере, один отмеченный сосед. Доказать, что есть клетка, у которой, по крайней мере, два отмеченных соседа.

Источники: Муницип - 2018, 10-11 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно придумать раскраску, которой мы красиво сможем покрыть нашу доску. Предположим противное. Понятно, что для любой раскрашенной клетки существует ровно одна отмеченная рядом. Какую раскраску можно придумать, чтобы одна отмеченная клетка соответствовала двум раскрашенным?

Подсказка 2

Раскрасим диагонали в каждом квадрате 11*11. Скольким раскрашенным клеткам должна соответствовать каждая отмеченная клетка? Осталось лишь найти противоречие с нашей раскраской ;)

Показать доказательство

$PIC$

Раскрасим диагонали в каждом квадрате $11⋅11$ , как на рисунке выше. Мы покрасили $33$ клетки и для каждой из них должна быть ровно одна отмеченная рядом. Заметим, что любая соседняя для любой раскрашенной клетки является соседней ещё для ровно одной раскрашенной, то есть любой сосед будет общим для каких-то двух раскрашенных клеток. Но раз так, то каждая отмеченная будет ровно одна на две раскрашенные и покрашенные клетки должны разбиться на пары. Поскольку их $33$ , то такое невозможно и среди этих клеток найдётся хотя бы одна с хотя бы двумя отмеченными соседями, что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#42922Максимум баллов за задание: 7

Цену на товар сначала подняли на $x$ процентов, а потом опустили на $y$ процентов. В результате цена осталась прежней. Найдите все значения, которые может принимать разность $1 1 x − y.$ Если возможных значений несколько, введите в качестве ответа их сумму.

Источники: Муницип - 2018, Свердловская область, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим изначальную цену за S. Мы знаем, что если цена увеличилась на x процентов, то она стала равной S(1+x). Как тогда можно переписать в этих терминах условие задачи?

Подсказка 2

S(1+x)(1-y)=S. Видно, что от S можно избавится, тогда останется выражение на x и y. Подумайте, что можно с ним сделать, и завершите решение!

Показать ответ и решение

Пусть изначально цена была $S$ . Тогда после поднятия цена стала равна $S⋅(1+ x-) 100$ . После уменьшения новая цена стала равна $-x- -y- S ⋅(1+ 100)⋅(1− 100).$ По условию это равно первоначальной цене, поэтому