Тема Муниципальный этап ВсОШ

Муниципалка 10 - 11 класс

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела муниципальный этап всош

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#65392Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что если в выражении $(x2− x+ 1)2014$ раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.

Источники: Муницип - 2014, Москва, 10.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что интересного, связанного с коэффициентами, мы точно умеем считать?

Подсказка 2

Свободный член и сумму коэффициентов! Что нам может намекать на отрицательность?

Подсказка 3

Нулевая сумма каких-то коэффициентов! А как мы можем ее искать? Подключить полученные из подсказки 2 знания и доказать утверждение!

Показать доказательство

Сумму коэффициентов многочлена после раскрытия скобок можно посчитать, если вместо $x$ подставить единицу. Естественно она же равна значению того же многочлена в точке $x =1$ до раскрытия скобок:

( 2 )2014 1 − 1+1 = 1

Свободный член тоже можно посчитать, для этого надо подставить $x= 0.$ Получится

( 2 )2014 0 − 0+1 = 1

Тогда сумма всех коэффициентов, кроме свободного члена, равна нулю. При этом старший коэффициент (он отличен от свободного члена из-за количества коэффициентов) равен единице, поэтому должен найтись и отрицательный коэффициент (иначе нулевая сумма коэффициентов окажется не меньше единицы, чего быть не может).

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#106535Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее значение выражения $a +b+ c+ d− ab− bc− cd− da,$ если каждое из чисел $a,b,c$ и $d$ принадлежит отрезку $[0,1].$

Источники: Окружная олимпиада (Москва) - 2013, 10.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Трудно оценивать выражение, когда оно такое длинное... Особенно непонятно, что делать с суммой попарных произведений. Давайте попробуем её как-нибудь упростить, разбить на скобочки!

Подсказка 2

Несложно заметить, что ab+bc+cd+da = (a+c)(b+d). Запишем это в исходное выражение и сделаем следующую замену: пусть x=a+c; y=b+d. Тогда наше выражение имеет вид x+y-xy. Что нам напоминает эта запись? Как разложить её на множители?

Подсказка 3

Правильно, x+y-xy = (x-1)(y-1)+1. Такое разбиение на скобки часто используется в задачах, его стоит запомнить! Получившиеся скобочки мы можем оценить из условия на то, что каждое из чисел принадлежит отрезку от нуля до единицы. Когда найдёте максимальное значение, не забудьте проверить, что оно достигается:)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Заметим, что

a +b+ c+d − ab− bc− cd− da= (a+ c)+(b+ d)− (a+ c)(b+d)

Пусть $a+c =x,b+ d= y,0≤ x≤ 2$ и $0≤ y ≤ 2$ .

x+ y− xy = (x − 1)(1− y)+1, где |x− 1|≤ 1 и |1− y|≤1

Следовательно,

(x− 1)(1− y)≤ 1, а x +y− xy ≤ 2.

Значение 2 достигается, например, если $a= c= 1,b= d= 0$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Зафиксируем значения переменных $b,c$ и $d$ и рассмотрим функцию

f(a)= (1− b− d)a+ b+c+ d− bc− cd,

где $0 ≤a ≤1$ . В силу монотонности, её наибольшее значение достигается на одном из концов отрезка $[0;1],$ то есть равно или $b+ c+ d− bc− cd$ или $1+ c− bc− cd$ .

Рассматривая эти выражения как функции от $c$ , аналогично получаем, что их максимальные значения: $b+d$ или $1, 1$ или $2− b− d$ . Так как $0≤ b+d ≤2$ , то наибольшее значение данного выражения равно 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#84472Максимум баллов за задание: 7

Квадратный трёхчлен $ax2+ 2bx +c$ имеет два различных корня, а трёхчлен $a2x2+ 2b2x +c2$ корней не имеет. Докажите, что у первого трёхчлена корни разного знака.

Источники: Муницип - 2012, Москва, 10.2

Показать доказательство

Из условия сразу следует, что

2 4 2 2 4b − 4ac >0, 4b − 4a c < 0

Так как

4 2 2 2 2 b − ac = (b − ac)(b +ac)< 0,

то

b2+ ac< 0

Поэтому

ac< 0

По теореме Виета произведение корней первого трёхчлена равно $c a < 0,$ поэтому корни разного знака.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#74904Максимум баллов за задание: 7

Произведение положительных чисел $x,y$ и $z$ равно 1. Докажите, что

(2+ x)(2+ y)(2+ z)≥ 27

Источники: Муницип - 2008, Москва, 10.5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть условие на то, что xyz = 1. Очень важное замечание, что какой бы корень или степень мы из этого выражения не брали, то оно всегда будет равно 1, например как (xyz)^(1/3) = 1 или (xyz)² = 1. Попробуйте получить с помощью нер-ва о средних (возможно, нескольких) в правой части как раз произведение xyz.

Подсказка 2

Еще одно замечание: справа стоит степень тройки: 27 = 3². Значит, возможно слева стоит использовать неравенства о средних для трех чисел...

Подсказка 3

Раз в левой части все разбито на скобки, то давайте поработаем с каждой скобкой отдельно, например с 2+x: его можно разбить на 1+1+x)

Показать доказательство

Раскроем скобки: