Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Смешанные уравнения и неравенства (тригонометрия, логарифмы, степени, модули, корни)

Тема АЛГЕБРА

Смешанные уравнения и неравенства (тригонометрия, логарифмы, степени, модули, корни)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#48594Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( )( ( 7) ) logπ6 (2x− 5)− logπ6(7 − 2x) cos x+ 4 − cos(2x − 1) (|x − 4|− |2x− 5|)≥ 0.

Источники: Ломоносов-2016, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Найдем ОДЗ и разберемся с каждой скобкой по очереди, начнем с логарифмов. Вспомним, что log_a(b) - log_a(c) на ОДЗ имеет такой же знак, что и выражение (а-1)(b-с). А чему оно равно?

Подсказка 2

Оно просто равно 12-4x, просто напишем это выражение вместо скобки с логарифмами. Перейдем к модулям. Заметили ли Вы, что в связи с ОДЗ они раскрываются однозначно? Причем скобка с модулями и 12-4х имеют общий множитель.

Подсказка 3

У нас получается (х-3)^2 * (скобка с косинусами). Замечаем, что тройка - корень, а иначе скобку второй степени можно убрать. Найдем, в каких точках скобка с косинусами обнуляется (разность косинусов - была какая-то формулка), и сопоставим это с ОДЗ.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ 2x− 5> 0 7− 2x> 0

5 7 x∈ (2;2)

На ОДЗ $(|x− 4|− |2x− 5|)= (4 − x)− (2x − 5)= 9− 3x,$ а по формуле разности косинусов

( ( 7) ) ( 12x +3) ( −4x+ 11) cos x+ 4 − cos(2x− 1) = −2sin --8--- sin --8----

По методу рационализации знак $( ) logπ6(2x − 5)− logπ6(7− 2x)$ на ОДЗ совпадает со знаком $( ) π6 − 1 (2x− 5− (7− 2x))= 46(π− 6)(x − 3)$

В итоге получаем неравенство

( ) ( ) − sin 12x+-3 sin −4x+-11 (x− 3)(π − 6)(x− 3)≥ 0 8 8

( ) ( ) sin 12x+-3- sin −4x-+11 (x− 3)2 ≥0 8 8

На ОДЗ

12x-+3-∈( 6⋅5+3;6-⋅7-+3) ∈(4;6)∈ (π;2π), 8 8 8

поэтому $(12x+3) sin 8 < 0.$

Учтём решение $x = 3,$ сразу запишем в ответ. Остаётся неравенство

( −4x+ 11) sin ---8--- ≥ 0

На ОДЗ

( ) ( ) −-4x-+11 ∈ −7⋅2+-11;−-5⋅2+11 ∈(−1;1)∈ − π;π , 8 8 8 2 2

поэтому неравенство равносильно

−4x+-11- 11- 0 ≤ 8 ⇐ ⇒ x ≤ 4

Ответ:

$(5;11]∪{3} 2 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#100194Максимум баллов за задание: 7

Найдите произведение всех значений $x$ , при каждом из которых

∘ --√---x2−9x+11 x2−9x+11 ∘---√-- x2−9x+11 ( 4− 11) , 2 , ( 4+ 11) —арифметическая прогрессия.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так-так, на первый взгляд это что-то очень страшное. Но давайте сделаем логичные первоначальные действия, которые сильно упростят задачу: заменим квадратный трёхчлен с x на
α(x), а также заметим что сумма двух подкоренных выражений слева равна 2. Также очевидно, что необходимо записать критерий арифметической прогрессии для трёх чисел (так с ней наиболее удобно работать).

Подсказка 2

Что же делать теперь? Ну да, конечно, рассмотрим функцию f(t) = t^a, где а - какой-то параметр, а t > 0. Если a ≠ 0 и a ≠ 1, то функция строго выпукла. В этот момент подумайте про неравенство Йенсена!

Подсказка 3

Да-Да, почти очевидно, что равенство может достигаться только тогда, когда a = 0 или a = 1. Запишем тогда два квадратных уравнения и по теореме Виета найдём произведение их корней.

Показать ответ и решение

Запишем критерий арифметической прогрессии для трёх чисел, что её второй член является средним арифметическим первого и третьего:

∘ --√---x2− 9x+11 ∘ ---√--x2−9x+11 2 (--4−--11)-------+2-(-4+--11)------ =2x −9x+11

Заметим, что

4− √11-+4 +√11-=2⋅22.

Тогда после замены $√ -- √ -- t1 = 4− 11,t2 = 4+ 11,$ получаем

a(x) a(x) ( )a(x) t1---+t2--= t1+-t2 2 2 ,

где

x2− 9x+ 11 a(x)= ----2-----.

Рассмотрим функцию $f(t)=ta$ при $t>0.$

Если $a⁄= 0$ и $a⁄= 1,$ то её вторая производная

f′′(t)= a(a − 1)ta−2

ненулевая и имеет постоянный знак, поэтому функция строго выпукла, так что по неравенству Йенсена равенство

( ) f(t1)+2f(t2)= f t1+2t2

возможно только при $t1 = t2,$ но в нашем случае $t1 = 4− √11⁄= 4+ √11= t2.$

Поэтому $a =0$ или $a= 1,$ то есть

[ x2− 9x +11= 0 x2− 9x +11= 2

Оба уравнения имеют по два различных действительных корня, произведения которых равны 11 и 9 соответственно по теореме Виета. Причём все 4 корня различны (уравнения различны), поэтому произведение всех корней равно 99.

Ответ: 99

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#71665Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $x$ , при каждом из которых выражения

(∘-----2- ) (∘ ----2-- ) log2013 1+ tg x+ tgx и log2012 1+tg x− tg x

равны друг другу.

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим внимательно на аргументы логарифмов! Что про них можно сказать?

Подсказка 2

Верно, можно заметить, что их произведение образует разность квадратов! Причем, разность этих квадратов равна 1. Тогда выразим один аргумент через другой, что можно сказать про них?

Подсказка 3

Да, в таком случае, если каждый из них не равен единице, то равенство логарифмов невозможно! Ведь, тогда один из аргументов меньше единицы, а второй больше единицы. Поэтому каждый из аргументов равен единице! Остаётся решить несложное тригонометрическое уравнение.

Показать ответ и решение

Заметим, что

(∘ ----2-- ) (∘----2-- ) 1+tg x+ tg x ⋅ 1+ tgx − tgx = 1

∘------- 1 1+ tg2x+ tgx = ∘1+-tg2x-− tgx

Тогда надо найти $x$ , при которых

( ) ------1------ (∘ ----2-- ) log2012 ∘1-+tg2x− tg x = log2013 1+ tg x − tgx

Это равенство возможно только при $∘ ------- 1+ tg2x − tgx= 1$ , так как если
$∘ ------- 1+ tg2x− tgx⁄= 1$ , то один логарифм будет неположительный, а другой — неотрицательный.

{ ∘1-+tg2x= 1+ tgx ⇐ ⇒ 1+ tgx ≥0 ⇐ ⇒ tgx= 0 1+ tg2x= 1+ tg2x +2tgx

Ответ:

$πn, n ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#91387Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары вещественных чисел $(x;y)$ , удовлетворяющих системе

{ (2− √3)x = 3y+4y, ∘−-x2− 3xy−-y2 = 2y+ x. 2

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Возведи второе уравнение в квадрат.

Подсказка 2

Подставьте решение второго уравнения в первое.

Подсказка 3

Попробуйте привести (2 - √3)ˣ к иному виду, воспользовавшись формулой разности квадратов.

Подсказка 4

Можно домножить (2 - √3)ˣ на (2 + √3)ˣ.

Подсказка 5

Попробуйте оценить количество корней уравнения, исследовав некоторую функцию на возрастание/убывание.

Показать ответ и решение

Из второго уравнения системы получаем неравенство $y ≥ −x∕4$ . Возводим второе уравнение в квадрат.

2 2 2 x2 − x − 3xy− y = 4y + 2xy+ 4

5x2 5y2+5xy+ -4-= 0

y = − x 2

Подставляем результат в первое уравнение системы:

(2− √3)x = 3−x∕2+ 4−x∕2

(2 − √3)x = (√3)− x+2−x

Заметим, что

√- x √- x (2− √3)x = (2−-3)-⋅√(2+x-3)-=----1√--x = (2 +√3)−x (2+ 3) (2+ 3)

поэтому

√-− x √ -−x −x (2+ 3) = ( 3) + 2

Поделим обе части на $(2+ √3)−x ⁄= 0$

( √3 )−x ( 2 )−x 1= 2+√3- + 2-+√3-

Функция слева представляет собой сумму монотонно убывающих функций, значит, корней у данного уравнения не более одного. Этот корень достаточно легко угадывается, $x =− 1$ , откуда $y =1∕2$ , что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$(−1;1∕2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#33906Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( )∘ -2-------- 3log|5x−3|2 ⋅log2|5x− 3|− x 5x − 9x+ 4= 0.

Источники: ПВГ-2011 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какой обычно самый первый шаг при решении уравнений, чтобы точно ничего не потерять?

Подсказка 2

Стоит записать и решить ОДЗ. Теперь самое время вспомнить, при каком условии произведение равно 0.

Подсказка 3

Первый множитель выглядит страшно, но посмотрите внимательно, может быть, у логарифмов есть какое-то свойство, которое очень и очень сильно упросит нам жизнь на ОДЗ?

Подсказка 4

Заметим одинаковые аргумент и основание, а чему тогда равно такое произведение логарифмов? Осталось только упростить, найти корни и записать ответ с учетом ОДЗ!

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| |5x − 3|> 0 { |5x − 3|⁄= 1 |( 2 5x − 9x +4 ≥0

На ОДЗ по формуле перехода для логарифмов уравнение эквивалентно совокупности

2 3− x= 0 или 5x − 9x+ 4= 0

Решение первого уравнения $x= 3$ удовлетворяет условиям ОДЗ, а из решений второго $x= 45,x= 1$ только один корень входит в ОДЗ.

Ответ:

${1;3}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#104846Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ 3xy = 4x+ 8, -x+1 y = log2x

Источники: Вступительные в МГУ - 2010 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В системах уравнений, где есть какая-то кракозябра и нормальное уравнение (а это почти каждая задача с физтеха) надо сначала поработать с нормальным уравнением, как-то его попреобразовывать, чтобы оно дало нам некоторую связь на переменные, которую мы могли бы использовать для упрощения кракозябры. Наиболее нормальным (хотя вообще-то оба так себе) кажется второе, поскольку там хотя бы явно выражен y. При этом что-то похожее на первое уравние у нас появляется во втором, если домножить на знаменатель обе части второго. А как нам это помогает при решении системы?

Подсказка 2

Если мы помножим на знаменатель и внесем y в логарифм, то логарифмируемое выражение будет x^y, что дает нам большую схожесть с первым уравнением. При этом в правой части у нас тоже некоторый логарифм, который тоже очень похож на выражение в правой части первого уравнения. Сделайте преобразования и, учитывая ограничения, найдите решения системы.

Показать ответ и решение

По свойству логарифмов второе уравнение системы на ОДЗ $x> 0,x ⁄=1$ равносильно

y x +1 =ylog2 x= log2x

Подставляя $xy = 2x+1$ в первое уравнение, получаем

x 22x-+8- 2⋅2 = 3

22x− 6⋅2x+ 8= 0

2x = 2 2x =4 x= 1 x =2

В ОДЗ входит только $x = 2,$ тогда

y = 2+1-= 3 log22

Ответ: (2, 3)

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#80646Максимум баллов за задание: 7

Решить неравенство

( π) ( 2 -9) arcsinx− 6 lg x + 25 >0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $|x|≤ 1$ .

Применим метод рационализации:

( π) ( 2 16) arcsinx− 6 (10− 1) x −25 > 0

( )( ) ( ) arcsinx− π x− 4 x+ 4 >0 6 5 5

На ОДЗ левая скобка обнуляется только при $x= 12$ , а значит, с помощью обобщённого метода интервалов мы можем расставить знаки и получить ответ.

Ответ:

$− 4 < x< 1 5 2$ , $4< x ≤1 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#34677Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

5(1−-cosx) logsinx 4 = 2.

Источники: ПВГ-2006 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какому уравнению будет равносильно данное на ОДЗ?

Показать ответ и решение

ОДЗ: $sinx ⁄=1,sinx> 0,1− cosx> 0$ .

На ОДЗ уравнение равносильно

2 5(1− cosx)= 4sin x

2 5− 5cosx= 4− 4cosx

4cos2x− 5cosx+1 =0

То есть $cosx =1$ , что не подходит под ОДЗ, или $cosx = 14$ , откуда с учётом ОДЗ подходит только $x =arccos14 +2πn,n∈ ℤ$ .

Ответ:

$arccos1 +2πn, n ∈ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#79281Максимум баллов за задание: 7

Решить систему уравнений

{ 3x+y+1+7 ⋅3y−2 = 8 ∘x-+-y2 =x +y

Источники: Вступительные в МФТИ - 2001 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое уравнение выглядит проще и что с ним можно сделать, как преобразовать?

Подсказка 2

Конечно, второе уравнение выглядит приятнее, и мы можем просто возвести обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня. И оно сразу на скобочки раскладывается, как тогда можем продолжить решение?

Подсказка 3

Мы знаем, чему равен x, тогда можем просто подставить это в первое уравнение, чтобы найти y! Получаются показательные уравнения, которые уже легко решаются через замену

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы. Потребуем, чтобы $x +y > 0$ и возведем его в квадрат, тогда получим:

2 2 2 x+ y = x + 2xy +y

Откуда получаем

x(x+ 2y − 1)= 0

Тогда либо $x = 0,$ либо $x =1 − 2y.$

Если $x= 0$ (подставим в первое уравнение системы):

3y+1+ 7⋅3y−2 = 8

( ) 3y 3+ 7 =8 9

( ) 3y = 36⇒ y =log3 36 17 17

Если же $x =1 − 2y :$

32−y+ 7⋅3y−2 = 8

-1--+7⋅3y−2 = 8 3y−2

Сделаем замену $t= 3y−2$ и получим уравнение:

7t2− 8t+1 =0

Корни которого будут равны $t1 =1$ и $t2 = 1. 7$

При $t1 = 1$ нужно решить уравнение $3y−2 = 1⇒ y =2$ . Получаем, что $x= 1− 2y =− 3.$ Вспоминаем, что $x +y >0,$ значит, это решение не подходит.

При $t2 = 1 7$ нужно решить $3y− 2 = 1, 7$ то есть $y = 2− log3 7,$ а $x= 2log37− 3.$ Проверим, что $x+ y > 0.$

x+ y = log37− 1> log33− 1= 0

Значит, это решение нам подходит.

Ответ:

$(0, log (36)) , (2log 7− 3, 2− log 7) 3 17 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#51850Максимум баллов за задание: 7

Найдите область определения функции

∘-----------||--------|| y = log4(1+6x)+ |log18(1+ 7x)|.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала надо понять, какие ограничения у нас возникают и какие очевидны. Ограничения от логарифмов понятны и их легко записать, а вот ограничение на подкоренное выражение сложнее. Во-первых, там модуль, да ещё он складывается с чем-то, значит метод рационализации не поможет. Значит, надо как-то определиться со знаком этого слагаемого, поскольку иначе решить неравенство на неотрицательность корня совсем непонятно как. Как же определиться со знаком? Может быть, сделать это на каких-то отдельных множествах иксов?

Подсказка 2

Верно, нам надо рассмотреть два случая: когда второй логарифм больше и когда он меньше или равен 0. Заметим, что дальнейших проблем у нас не возникает, поскольку мы можем по свойствам логарифма привести оба слагаемых к одному основанию. Значит, остаётся рассмотреть эти два случая, решая неравенства на выражения под логарифмом, после чего объединить интервалы и получить ответ.

Показать ответ и решение

Область определения функции задаётся системой неравенств