.07 Массивная нить, пружина

Мысленно разобьём верёвку на такие малые элементы, что каждый можно считать находящимся на определённом расстоянии от оси вращения. Тогда второй закон Ньютона для этого элемента верёвки массой и длиной , который находится на расстоянии от оси вращения:

где и — силы натяжения верёвки с двух сторон от рассматриваемого элемента. При этом масса элемента может быть представлена как:

Интегрируя уравнения движения для всех элементов верёвки, находящихся на расстояниях от до от оси вращения, получим следующее. Сумма разностей сил натяжения даст силу натяжения верёвки в сечении, находящемся на расстоянии от оси вращения. Т.к. сила натяжения верёвки на самом её конце равна нулю, а все промежуточные значения сократятся при суммировании (т.е. как раз ту величину, которую мы и должны найти).

Интеграл левой части:

Получаем: