07 Массивная нить, пружина - Каталог заданий по Олимпиадной физике в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#43105Максимум баллов за задание: 10

Однородный канат массой $m = 3 кг$ соединён с бруском массой $2m$ лёгкой нитью, перекинутой через блок (см. рисунок). Канат находится на горизонтальной поверхности поверхности, а брусок — на наклонённой под углом $α$ ( $sin α = 0,6$ ) к горизонту поверхности. Коэффициент трения скольжения каната и бруска о соответствующие поверхности $μ = 0,3$ .
1) Найти ускорение бруска.
2) Найти силу натяжения каната в точке $B$ , для которой $AB = AC ∕3$ .
Массой блока и трением в его оси пренебречь.
(МФТИ, 2002)

Источники: МФТИ, 2002

Показать ответ и решение

Второй закон Ньютона для бруска:

N1 = 2mg ⋅ cosα.

2ma = 2mg ⋅ sin α − T − 2μmg cosα.

Для каната

ma = T − μmg.

Соединив два последних уравнения получим

2ma = 2mg sin α − 2μmg cos α − mg − μmg.

g a = -(2 sin α − 2μ cosα − μ) = 0,14g. 3

Запишем второй закон Ньютона для участка $AB$ :

m-a = F − μm-g ⇒ F = mg--(a + μg ) = 4,4 Н 3 3 3

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Второй закон Ньютона для каната	2

Формула силы трения	2

Второй закон Ньютона для участка АВ	2

Второй закон Ньютона для бруска	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#43106Максимум баллов за задание: 10

Шайба массой $m$ прикреплена к концу однородной верёвки массой $2m$ и длиной $l$ . Другой конец верёвки прикреплён к вертикальной оси. Шайба с верёвкой вращаются вокруг оси с постоянной угловой скоростью, скользя по гладкой горизонтальной поверхности стола. Размер шайбы мал по сравнению с длиной верёвки. Скорость шайбы $v$ .
1) Найдите силу натяжения верёвки вблизи шайбы.
2) Найдите силу натяжения верёвки на расстоянии $3l∕4$ от оси.
(«Физтех», 2007)

Источники: Физтех, 2007

Показать ответ и решение

1) При вращении на шайбу действует центростремительное ускорение, значит, по второму закону Ньютона:

v2 T1 = ma = m ---. l

2) По второму закону Ньютона

1 ( 3 1 l) F = T + --⋅ 2m ω2 --l +---- 4 4 2 4

Так как

v- ω = l

v2 1 mv2 7 23mv2 F = m ---+ -------⋅--= ------- l 2 l 8 16 l

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#43107Максимум баллов за задание: 10

На доске, наклонённой под углом $30∘$ к горизонту, удерживают в покое однородную гибкую верёвку длиной $l = 40 см$ так, что на доске лежит $4∕7$ длины верёвки, а $3∕7$ висит вертикально (см. рисунок). Трение верёвки о доску и направляющий желоб $P$ пренебрежимо мало. Верёвку отпускают, и она движется, оставаясь в одной и той же вертикальной плоскости.
1) Найти ускорение верёвки в начальный момент движения.
2) Найти скорость верёвки в момент, когда соскользнёт с доски и примет вертикальное положение.
(МФТИ, 1998)

Источники: МФТИ, 1998

Показать ответ и решение

1) Второй закон Ньютона:

3ma = 3mg − T 7 7

4- 4- 7ma = T − 7 mg sinα.

Отсюда

g a = g(3 − 4 sin α) = --. 7

2)

Найдем $x1$ и $x2$

x1 = 4-l ⋅ 1-sin α = l 7 2 7

3- 4- 1- 5l x2 = 7l + 7l ⋅2 = 7

Запишем закон сохранения энергии

4 mv2 --mg Δh = ----. 7 2

Отсюда

8 8 4 v2 = -g(x1 − x1) = -g--l 7 7 7

Тогда

∘ --- v = 4- 2gl = 1,6 м/c 7

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#43108Максимум баллов за задание: 10

На гладкой горизонтальной поверхности стола находятся три бруска, соединенные легкой нитью и пружиной жесткостью $k = 7,5 Н/м$ (см. рис.). Масса пружины $m = 0,3 к г$ и равномерно распределена вдоль оси ненапряженной пружины. Массы брусков $m = m 1$ , $m = 2m 2$ , $m = 3m 3$ . Под действием горизонтальной силы $F0 = 2, 1 Н$ , приложенной к бруску $m1$ , система движется по столу. При этом длина пружины увеличивается на $40%$ по сравнению с длиной ненапряженной пружины.
1) Найти ускорение системы.
2) Найти силу $T$ натяжения нити.
3) Найти длину $L0$ нерастянутой пружины.
(«Физтех», 2018, 11)

Показать ответ и решение

1) Запишем второй закон Ньютона:

-F0- 2 F0 = (m + m1 + m2 + m3 )a ⇒ a = 7m = 1 м/ с

2) Запишем второй закон Ньютона для первого тела:

F0 6 F0 − T = ma ⇒ F0 − T = m ----⇒ T = -F0 = 1,8 Н 7m 7

3) Можно показать, что для удлинения пружины

k ΔL = 1-(F1 + F2), 2

где $F1$ и $F2$ – силы на концах пружины. У нас (аналогично пункту 2)

4 T − F1 = m2a ⇒ F1 = -F0 7

F = m a ⇒ F = 3-F 2 3 2 7 0

Тогда

F0- ΔL-- ΔL = 2k , L = α, 0

где $α = 0,4$ , тогда

L = F0--= 35 см 0 2kα

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#43109Максимум баллов за задание: 10

На гладком столе лежит пружина с жёсткостью $k$ и начальной длиной $l0$ . Масса пружины $M$ . К одному её концу привязан лежащий на столе брусок массой $m$ , а за другой пружину тянут с силой $F$ . Определить относительное удлинение пружины, полагая, жёсткость её достаточной, чтобы в любом сечении удлинение было мало в сравнении с первоначальной длиной.
(Овчинкин)

Показать ответ и решение

Для всей системы ускорение равно:

---F---- F = (m + M )a ⇒ a = m + M .

Для груза массой $m$ и части пружины, координата которой $x$ , отсчитанной от места крепления пружины к грузу:

( ) x- Fупр(x) = m + M l a. 0

Или

( ) Fупр(x) = m + M x- ---F---- l0 m + M

Жёсткость части пружины длины $dx$

kl k1 = --0. dx

Тогда

F (x) = k dΔl = kl dΔl-. упр 1 0dx

( ) d-Δl -x ---F---- kl dx = m + M l m + M 0

Или

( ) kl dΔl = m + M -x ---F----dx 0 l0 m + M

Интегрируя по длине пружины

∫Δl ∫l0 ∫l0 -F-m---- ---F-M----- kl0 dΔl = m + M dx + l0(m + M )xdx. 0 0 0

Тогда

Fm F M l02 kl0Δl = -------l0 + ------------- m + M l0(m + M ) 2

Или

( ) Δl = F- -2m--+-M-- k 2(m + M )

Относительное удлинение

( ) Δl F 2m + M --- = --- ---------- l0 kl0 2(m + M )

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#43110Максимум баллов за задание: 10

Пружина с жёсткостью $k$ и массой $M$ лежит на гладком горизонтальном столе. К одному из её концов привязана тонкая нерастяжимая нить, перекинутая через неподвижный блок, укреплённый на краю стола. Нить свисает с него вертикально. К свисающему концу нити прикрепляют грузик массой $m$ , который в определённый момент отпускают без начальной скорости. Определить удлинение пружины. Жёсткость её считать достаточной, чтобы удлинение было мало в сравнении с первоначальной длиной.
(Овчинкин)

Показать ответ и решение

По второму закону Ньютона:

ma = mg − T M a = T.

Отсюда

mg mM g a = -------- T = -------- m + M m + M

F = kx.

F Δl --= E --- F(z) = SE ⋅ 𝜀(z). S l

$dΔ 𝜀 = dz-.$ Отсюда

F (z) = M a z- l0

Или

∫l0 ∫Δ M-- M-a- l az = SE 𝜀(z) ⇒ l zdz = SE dΔ. 0 0 0 0

M a l0 M a M mg ------= SE Δ ⇒ Δ = ---- = ------------ l0 2 2k 2(M + m )k

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#96887Максимум баллов за задание: 10

Один конец лёгкого упругого жгута закреплён, а к другому привязан груз массой $m =2$ кг, который движется в горизонтальной плоскости по окружности вокруг закреплённого конца жгута, совершая 90 оборотов в минуту. Коэффициент жёсткости жгута $k = 700$ Н/м, его длина в недеформированном состоянии 1 см.
1) Рассчитайте угловую скорость $ω$ груза.
2) Найдите длину жгута $l$ .

Показать ответ и решение

Частота обращение - физическая величина, равная количеству оборотов, которые тело совершает за единицу времени. Поэтому в нашем случае она равна: $90- ν = 60 = 1,5 Гц$ . Поэтому угловая скорость есть: $ω = 2πν = 2⋅3,14 ⋅1,5≈ 9,4 рад/c$ .
Введем неподвижную систему координат: направим одну из осей вдоль жгута( $Oy$ ), а другую перпендикулярно ей( $Ox$ ). Запишем второй закон Ньютона вдоль оси $Oy$ :

k(l− l0)= m ω2l.

Тогда длина жгута после подвешивания груза будет равна: $k 700⋅0,01 l = k-− m-ω2l0 = 700−-2⋅9,42-≈ 1,34 см$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#119864Максимум баллов за задание: 10

Веревку длиной $l$ и массой $m$ , расположенную на гладком горизонтальном столе, вращают с угловой скоростью $ω$ вокруг одного из её концов (см. рисунок). Найти силу натяжения веревки в сечении, находящемся на расстоянии $5∕8 l$ от оси вращения.

$PIC$

(Росатом 2025, 11)

Показать ответ и решение

Мысленно разобьём верёвку на такие малые элементы, что каждый можно считать находящимся на определённом расстоянии от оси вращения. Тогда второй закон Ньютона для этого элемента верёвки массой $dm$ и длиной $dr$ , который находится на расстоянии $r$ от оси вращения:

dm ⋅rω2 = T(r)− T(r+ dr)

где $T (r)$ и $T(r+ dr)$ — силы натяжения верёвки с двух сторон от рассматриваемого элемента. При этом масса элемента может быть представлена как:

dm = m-dr l

$PIC$

Интегрируя уравнения движения для всех элементов верёвки, находящихся на расстояниях от $5∕8l$ до $l$ от оси вращения, получим следующее. Сумма разностей сил натяжения даст силу натяжения верёвки $T$ в сечении, находящемся на расстоянии $5∕8 l$ от оси вращения. Т.к. сила натяжения верёвки на самом её конце равна нулю, а все промежуточные значения сократятся при суммировании (т.е. как раз ту величину, которую мы и должны найти).

∫ l mω2r- 5l∕8 l dr = T

Интеграл левой части:

| ∫ l m-ω2r m-ω2 r2||l m-ω2 l2 (5l∕8)2 mω2l-( 25) 39- 2 5l∕8 l dr = l ⋅2 | = l (2 − 2 ) = 2 1− 64 = 128m ω l 5l∕8

Получаем:

T = -39m ω2l 128

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#128698Максимум баллов за задание: 10

Брусок массой $m = 0,5$ кг соединён с толстой однородной верёвкой массой $3m$ лёгкой нитью, перекинутой через блок (см. рисунок). Коэффициент трения скольжения между бруском и наклонной плоскостью $μ = 0,4$ . Угол наклона плоскости к горизонту $β = 30∘$ .

Найти ускорение верёвки.
Найти силу натяжения верёвки в точке $B$ , для которой $BD = AD ∕6$ .

Массой блока и трением в его оси пренебречь.

$PIC$

Источники: МФТИ, 2002

Показать ответ и решение

1. Сразу отметим все силы, действующие в системе. Из нерастяжимости нити сразу заключаем равенство ускорений груза и бруска.

$PIC$

Пишем 2-ой закон Ньютона для груза массой $3m$ :

3mg − T = 3ma

В проекции на ось, сонаправленную с наклонной плоскостью, пишем 2-ой закон Ньютона для бруска на наклонной плоскости:

T − ngsin β − μmg cosβ = ma

Суммируем оба равенства и выражаем ускорение $a$ :

a = 1g(3 − sinβ − μcosβ) ≈ 5,3 м/с2 4

2. Ответим теперь на второй вопрос задачи. Мысленно разобъем груз на две части ( $AB$ и $BD$ ) массами $5∕6 ⋅3m$ и $1∕6 ⋅3m$ соответственно.

$PIC$

Пишем 2-ой закон Ньютона для верхнего и нижнего «кусочков»

({ ′ 5 5 T − T + 2mg = 2ma, (− T′ + mg2-= m2 ⋅a

Отсюда легко выражаем $′ T$ и получаем ответ на второй вопрос задачи

′ m- mg- T = 2 (g − a) = 8 (1+ sin β + μ cos β) ≈ 1,1 Н

Ответ:

$1 2 mg 1)a = 4g(3− sin β − μ cosβ ) ≈ 5,3 м/с , 2)T ′ =-8-(1+ sinβ + μcosβ) ≈ 1,1 Н$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#128699Максимум баллов за задание: 10

Верёвка массой $m$ и длиной $l$ вращается с угловой скоростью $ω$ вокруг вертикальной оси, проходящей через один из её концов (см. рисунок). Найти силу натяжения веревки на расстоянии $23l$ от оси вращения.

$PIC$

Источники: «Росатом», 2014, 10

Показать ответ и решение

Найдём зависимость силы натяжения нити от координаты $x T(x)$ . Отметим силу реакции, действующую на нить в точке подвеса. Также разделим нить на два куска и отметим силу, действую на правый кусочек.

$PIC$

Заметим, что центр масс движенся с центростремительным ускорением $2 l−-x- aц = ω ⋅(x + 2 )$ (в силу однородности распределения массы нити). Масса кусочка вычисляется как $ml-⋅(l− x)$ . Теперь можем записать для правого кусочка теорему о движении центра масс

2 T(x) = m ⋅(l− x) ⋅ω2(x + l−-x) = m-ω-(l2 − x2) l 2 2l

Зависимость квадратичная. На плоскости $T, x$ получим параболу ветвями вниз, пересекающую ось $T$ в точке $m ω2 -2-l$ и ось $x$ в точке $l$

$PIC$

Ответим теперь на вопрос задачи:

( ) 2 mω2- 5 2 5- 2 T 3l = 2l ⋅9 l = 18m ω l

Ответ:

$( 2) 5 T 3l = 18-mω2l$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#128700Максимум баллов за задание: 10

Однородную нерастяжимую веревку, лежащую на горизонтальной поверхности, медленно втягивают на гладкий полушар, закрепленный на поверхности, действуя на ее конец некоторой силой. Когда конец веревки $A$ оказывается в верхней точке полушара, веревка касается полушара участком $AB$ , опирающимся на угол $α$ , а длина «висящего» участка веревки $BC$ втрое меньше ее участка $CD$ , лежащего на поверхности (см. рисунок). Найти коэффициент трения между веревкой и поверхностью. Какой горизонтальной силой нужно в этот момент действовать на конец веревки $A$ , если масса веревки $m$ , масса куска $CD$ – $mCD$ ?

$PIC$

Источники: Росатом, 2022, 11

Показать ответ и решение

$PIC$

1. Рассмотрим кусок нити $AB$ . Выделим небольшой элемент нити длиной $dl$ . В первом приближении можем положить дугу, образованную центральным углом $dφ$ прямой, тогда анализ динамики элемента нити $dl$ можно проводить, пологая дугу наклонной плоскостью.

$PIC$

Если канат тянут вверх, сила натяжения, действующая на верхнюю часть элемента длины равна $T (φ)$ , тогда на нижний конец действует сила $T(φ) − dT$ .

Пишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вдоль наклонной плоскости:

dT = − gsinφdm

2. Теперь разберёмся с $dm$ :

M-- dm = L ⋅dl, dl = R ⋅dφ

Тогда выражение для $dT$ переписывается как

( ) M-- ∫ F0 ∫ α M-- dT = − gsin φL Rd φ ⇒ F dT = − 0 g L R sinφ dφ ∗

Интегрируем:

F − F = + gM-R-⋅cosφ|α = gM-R-(cosα − 1) 0 ∗ L 0 Rα

Отсюда получаем

M g F∗ = F0 +-α--(1 − cosα)

3. Выразим $μ,M$ и $F0$ :

Для начала рассмотрим участок верёвки $CD$ :

$PIC$

Из 2-го закона Ньютона $T1 = μm0g$ . Теперь рассматриваем участок $BC$

$PIC$

Изобразим векторный треугольник сил

Отсюда $1 m0g 3μm0g ctg α tgα = 3 ⋅ T--⇒ ctgα = -m--g- ⇒ μ = -3--- 1 0$ .

Теперь из треугольника можем выразить $T2$ :

T2 = m0g--- 3sin α

Заметим также, что согласно условию задачи, масса куска $AB M$ выражается как $4 M = m − 3m0$ . Более того, $T2 = F0$ . Теперь подставим все недостающие выражения в полученную в пункте $2$ формулу и получим ответ к второму вопросу задачи.

1 m0g- (3m-−-4m0-)g(1−-cosα) F ∗ = 3 sinα + 3α

Ответ:

$ctgα 1m0g (3m − 4m0 )g(1 − cosα) μ = --3--, F∗ = 3sin-α +---------3α---------$