.07 Массивная нить, пружина

1. Рассмотрим кусок нити . Выделим небольшой элемент нити длиной . В первом приближении можем положить дугу, образованную центральным углом прямой, тогда анализ динамики элемента нити можно проводить, пологая дугу наклонной плоскостью.

Если канат тянут вверх, сила натяжения, действующая на верхнюю часть элемента длины равна , тогда на нижний конец действует сила .

Пишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вдоль наклонной плоскости:

2. Теперь разберёмся с :

Тогда выражение для переписывается как

Интегрируем:

Отсюда получаем

3. Выразим и :

Для начала рассмотрим участок верёвки :

Из 2-го закона Ньютона . Теперь рассматриваем участок

Изобразим векторный треугольник сил

Отсюда .

Теперь из треугольника можем выразить :

Заметим также, что согласно условию задачи, масса куска выражается как . Более того, . Теперь подставим все недостающие выражения в полученную в пункте формулу и получим ответ к второму вопросу задачи.