.04 Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола.

Лемма. Пусть дана некоторая прямая и две точки и , находящиеся по одну сторону от этой прямой.

Пусть нужно найти такую точку на прямой , что сумма расстояний минимальна.

Утверждается, что такая точка обязательно существует и единственна и найти её можно следующим образом - острые углы между и и между и совпадают.

(В оптике этот принцип называют принципом Ферма, или принципом угол падения равен углу отражения, поскольку свет среди всех возможных траекторий выбирает ту траекторию, которая минимизирует его время, а если среда однородна, то минимизация времени это то же самое, что минимизация расстояния).

Доказательство леммы.
Построим точку симметричную относительно прямой . И давайте теперь будем искать такую точку , что сумма расстояний от до и от до минимальна. То есть будем теперь минимизировать величину

Но ясно, что если - это точка, обладающая указанным свойством, то есть такая точка, что острые углы между и и между и совпадают, то минимум величины

достигается именно при - это видно попросту из неравенства треугольника .

Но поскольку , то минимизация величины

равносильна минимизации величины

И мы только что доказали, что эта величина минимизируется только если совпадает с той самой точкой , где угол падения равен углу отражения. Лемма доказана.

Доказательство оптического свойства эллипса.
Заметим вначале, что для любой точки вне эллипса сумма расстояний от до и от до будет строго больше, чем .

Теперь проведем касательную к эллипсу в точке .

Поскольку сумма всегда равна , а для любой точки на касательной, находящейся вне эллипса, как мы заметили, , то получается, что в точка минимизирует путь от к через касательную. То есть в точке угол падения равен углу отражения.

Следовательно, свет пойдёт именно по этому пути.