.04 Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола.

1. Матрица квадратичной части имеет вид

Её собственные числа - это корни уравнения

Вычисляя, получим, что , .

2. Следовательно, после ортогональной замены координат при будет стоять коэффициент , а при будет коэффициент . Проверим это. Для этого найдем матрицу этой замены, то есть матрицу, составленную из собственных векторов матрицы .

Собственный вектор, соответствующий будет, например, . Отнормируем его и получим .

Собственный вектор, соответствующий будет, например, . Отнормируем его и получим .

Следовательно, матрица перехода будет такой:

3. Сделаем соответствующую замену координат, то есть замену

Подставляя это всё дело в исходное уравнение

получим

Аккуратно всё раскрывая и сокращая, получаем такое уравнение в новых координатах:

Далее, собираем полные квадраты:

Осталось сделать сдвиг начала координат по формулам

И получим уравнение

Поделив всё уравнение на , получим:

Таким образом, видим, что это эллипс.