Тема . Математический анализ

.18 Пределы функций на Тейлора и Лопиталя.

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела математический анализ
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#102829

Найти

    (cosx + sinx)18 − 1− x + x2
lxim→0 ---2------------2x-8-x216-
      ln (e+ x)− 1 − e + e2
Показать ответ и решение

При x →  0  :
Ясно, что

          x2
cosx = 1−  --+ ¯o(x2)
          2

Ясно, что

sinx = x+ ¯o(x)

но поскольку

           3
sinx = x−  x-+ ¯o(x3)
          6

То можно записать и то, что

sin x = x + ¯o(x2)

А потому

                    2
cosx+ sin x = 1 + x− x + ¯o(x2)
                    2

Далее, ясно, что при t → 0  будет

      18      1   -7- 2    2
(1+ t) = 1 + 8t− 128t + ¯o(t)

Таким образом, получим разложение:

           1           x2     2 1      1     x2   -7-     x2 2     2
(cosx + sinx )8 = (1+ x−  2 + ¯o(x ))8 = 1+ 8 (x − 2 )− 128(x − 2 ) + ¯o(x) =

      1   -15  2    2
= 1+  8x− 128x  + ¯o(x )

И тогда для числителя получается такое разложение:

    1    15  2     2      x   x2     7  2     2
1+  8x− 128x  + ¯o(x ) − 1 − 8-+ 16 = −128x + ¯o(x )

Теперь раскладываем знаменатель:

                                              2
ln (e +x ) = ln(e(1+ x-))) = 1 + ln(1+ x) = 1+ x−-x- + ¯o(x2)
                 e               e       e  2e2

Следовательно,

ln2(e + x) = (1+ x-−-x2+ ¯o(x2))2 = 1+ 2x-− x2 + x2 +o¯(x2) = 1 + 2x-+o¯(x2)
               e   2e2               e   e2   e2             e

И тогда

                    2                           2    2
ln2(e+ x)− 1 − 2x-+ x-= 1 + 2x-+o¯(x2)− 1 − 2x+ x- = x- + ¯o(x2)
              e    e2      e              e    e2    e2

Следовательно,

   (cosx + sinx)18 − 1− x + x2      − 7-x2 +o¯(x2)   − 7e2
lim ----2-----------2x-8-x216-=  lim --12x82-----2--- = -----
x→0  ln (e+ x)− 1−  e + e2    x→0   e2 +o¯(x )     128
Ответ:

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!