.18 Пределы функций на Тейлора и Лопиталя.

Ясно, что при знаменатель стремится к нулю.

Более того, поскольку функция - непрерывна на любом отрезке, интеграл с переменным верхним пределом, то есть функция

будет непрерывна в любой точке, то есть

(интеграл по отрезку нулевой длины, конечно, всегда равен нулю).

Таким образом, наш исходный предел является неопределенностью вида .

Далее, ясно, что знаменатель - всюду дифференцируемая функция, чья производная не обращается в ноль в проколотой окрестности той точки, где мы считаем предел, то есть в проколотой окрестности нуля.

В числителе функция тоже будет всюду дифференцируема, поскольку подынтегральная функция - всюду непрерывна.

Таким образом, мы попадаем в условия правила Лопиталя, и можем его применить. Попробуем вычислить предел отношения производных

если он будет существовать, то будет существовать и исходный предел и они будут равны.

Итак, принимая во внимание тот факт, что производная интеграла с переменным верхним пределом в точке равна значению подынтегральной функции в точке , будем иметь:

Этот последний предел уже легко считается, поскольку при для арктангенса можно воспользоваться тейлоровским разложением:

таким образом

Таким образом, поскольку у отношения производных исходных функций существует предел, то он существует и у отношения исходных функций и равен тому же числу.