Тема . Математический анализ

.18 Пределы функций на Тейлора и Лопиталя.

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела математический анализ
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#52216

Вычислить

     3√ -----
lim  x--cosx-−-sin-x-
x→0       x5

Показать ответ и решение

Будем раскладывать числитель до членов пятого порядка включительно, чтобы потом было удобно сравнивать со знаменателем. Поскольку при x → 0

            2    4
cosx = 1−  x--+ x--+ o(x5),
           2    24

в частности cosx → 1  , а значит можно раскладывать √ -----
3 cosx  :

               2    4                      2    4
3√cos-x-= (1− x--+ x--+ o(x5))1∕3 = 1 + 1(− x-+ x--+ o(x5))−
              2   24                  3   2    24
    1-  x2-  x4-     5 2      5       x2-  x4-  x4-     5
  − 9(− 2 +  24 + o(x ))  + o(x ) = 1 − 6 + 72 − 36 + o(x ) =
                                      x2   x4
                                = 1 − ---− ---+ o(x5)
                                       6   72

Наконец, с учетом того, что при x →  0

           x3    x5
sinx = x − ---+ ----+ o(x6),
            6   120

окончательно преобразовываем числитель:

 √ -----              x2    x4               x3    x5
x 3cosx − sin x = x(1− ---−  --+ o(x5))− (x − ---+ ----+ o(x6)) =
                    5  6    72                6   120
              =  − x-+ o(x6)
                  45

Следовательно,

      3√-----               x5      6
 lim x--cosx-−-sinx-=  lim −-45 +-o(x-)-= − -1-
x→0       x5         x→0      x5         45
Ответ:

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!