.18 Пределы функций на Тейлора и Лопиталя.

Наш исходный предел имеет вид неопределенности . Далее, пусть

Функции и определены и дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки 0, при этом в некоторой окрестности. Следовательно, можем воспользоваться правилом Лопиталя:

Сгруппируем слагаемые:

Оба предела существуют, поэтому распишем предел суммы на сумму пределов:

Для каждого знаменателя в окрестности нуля выполняется

поэтому снова можем применить правило Лопиталя:

Возможно, сумма пределов выглядит очень громоздко и возникает ощущение, что правило Лопиталя здесь нужно будет применить бесконечно много раз. Но давайте внимательно посмотрим на каждый предел – в каждом выражении в числителе есть слагаемое , а в знаменателе – , при взятии производной и подстановки (в случае арктангенса) эти выражения обращаются в константу, а все остальные слагаемые зануляются. Поэтому осталось применить правило Лопиталя в последний раз! (все условия также соблюдены)
Поскольку в каждом пределе неопределённости не возникнет, давайте при взятии производной сразу не будем записывать слагаемые, которые умножаются на , и :