Тема . Математический анализ

.18 Пределы функций на Тейлора и Лопиталя.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#53875

Вычислить

$( x2) sin xe 6 − x cos(x2) lim ------2--------3----- x→0 x ln(1+ x )$

Показать ответ и решение

Сначала запишем формулу Тейлора для аргумента синуса, а потом распишем и сам синус (всё расписываем до пятой степени):

$( ( ) ) (x2)2 ( ) sin (xe x62) = sin |x | 1+ x2+ --6---+ o(x4)| | = sin x + x3-+ -x5--+ o(x5) = ( ( 6 2! ) ) 6 62 ⋅2$

$( 3 5 ) = x + x--+ -x---+ o(x5) − 6 62 ⋅2 ( x3 -x5 5)3 -x-+--6-+-62⋅2-+-o(x-)-- − 3! + ( x3 x5 5 )5 x + -6 + 62⋅2 + o(x ) 5 + ----------5!-----------− o(x ) =$

$( ) ( ) ( ) = x + x3-+ -x5--+ o(x5) − x3-+ 3x-⋅x⋅-x3+ o(x5) + x5-+ o(x5) = 6 62 ⋅2 3! 6 ⋅3! 5! ( 1 1 ) ( 1 1 1) ( 1 1 1 ) = x + --− -- x3 + ---− ---+ -- x5 + o(x5) = x + ---− ---+ -- x5 + o(x5) 6 3! 72 12 5! 72 12 5!$

Аналогично раскладываем остальные функции в ряд Тейлора:

$( 4 6 ) 5 xcos(x2) = x 1− x--+ x-+ o(x6) = x − x--+ o(x5) 2! 4! 2! ( x6 ) x2ln(1+ x3) = x2 x3 − ---+ o(x6) = x5 − o(x5) 2$

Осталось подставить всё в выражение и поделить на $5 x$ :

$( ) x2 2 sin xe 6 − xcos(x ) lxim→0 -----x2ln(1+-x3)----- = ( ( ) ) ( 5 ) x+ 172-− 112 + 15! x5 + o(x5) − x− x2! + o(x5) = lim --------------------5-----5--------------------= (x→0 ) x − o(x ) --172-−-112-+-15! +-12!-x5 +-o(x5) 712-−-112 +-15!-+-12! +-o(1) = xli→m0 x5 − o(x5) = xli→m0 1 − o(1) = 1 1 1 1 79 = ---− ---+ -- + --= ---- 72 12 5! 2! 180$

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.18 Пределы функций на Тейлора и Лопиталя.

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ