Тема . Математический анализ

.18 Пределы функций на Тейлора и Лопиталя.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71544

Обосновать все основные маклореновские разложения:

3 5 2n− 1 1. sinx = x − x--+ x--+ ...+ (− 1)n−1-x-------+ ¯o(x2n) 3! 5! (2n − 1)!

2 4 2n 2. cosx = 1 − x--+ x--+ ...+ (− 1)n x----+ ¯o(x2n+1) 2! 4! (2n)!

x2 x3 xn 3. ln(1 + x) = x −---+ --+ ...+ (− 1)n−1--+ ¯o(xn) 2 3 n

x x2- x3- xn- n 4. e = 1 + x+ 2! + 3! + ...+ n! + ¯o(x )

m (m − 1) m (m − 1)(m − 2)...(m − n + 1) 5.(1+ x)m = 1+ mx + ---------x2 + ...+ -----------------------------xn + ¯o(xn), m ∈ ℝ 2! n!

выведя их из общей формулы

∑n f(k)(0) Mn (f ) = ------xk k=0 k!

Показать ответ и решение

1. Ясно, что функцию $sinx$ можно разложить по формуле Маклорена до любого члена, поскольку она сколько угодно раз дифференцируема в нуле.

Общая формула многочлена Маклорена порядка $n$ выглядит так:

′′ ′′′ (n) M (n) = f(0)+ f′(0)x + f-(0)x2 + f--(0)-x3 + ...+ f--(0)xn f 2 3! n!

Таким образом, чтобы получить эту формулу для синуса в нуле, нужно понять, как устроены производные синуса в нуле.

Итак, свободный член $f(0) = sin 0 = 0$ , далее

f ′(x) = cosx,f′(0) = cos0 = 1,f′′(x) = − sin x,f′′(0) = − sin 0 = 0

′′′ ′′′ (iv) (iv) f (x ) = − cosx,f (0) = − cos 0 = − 1,f (x) = sin x,f (0) = sin 0 = 0

Отсюда мы видим закономерность, что производные четного порядка в нуле зануляются, а производные нечетного порядка равны 1, если порядок этой производной даёт остаток 1 при делении на 4, и равны $− 1$ , если порядок этой производной даёт остаток 3 при делении на 4. Таким образом и получается формула разложения синуса в нуле.

2. Ясно, что функцию $cos x$ можно разложить по формуле Маклорена до любого члена, поскольку она сколько угодно раз дифференцируема в нуле.

Здесь всё аналогично с синусом, заметим, что свободный член $f(0) = cos 0 = 1$ , далее

f′(x) = − sin x,f′(0) = − sin0 = 0,f′′(x) = − cosx,f′′(0) = − cos 0 = − 1

f′′′(x) = sin x,f′′′(0) = sin 0 = 0,f(iv)(x) = cos x,f(iv)(0) = cos0 = 1

Отсюда мы видим закономерность, что производные нечетного порядка в нуле зануляются, а производные четного порядка равны 1, если порядок этой производной даёт остаток 0 при делении на 4, и равны $− 1$ , если порядок этой производной даёт остаток 2 при делении на 4. Таким образом и получается формула разложения косинуса в нуле.

3. Ясно, что функцию $ln(1 + x)$ можно разложить по формуле Маклорена до любого члена, поскольку она сколько угодно раз дифференцируема в нуле.

Давайте поймём закономерность производных $f(x) = ln(1+ x)$ в нуле: $f(0) = 0$ ,

f′(x ) =--1--,f ′(0) = 1,f′′(x) = −---1----,f′′(0) = − 1,f′′′(x ) =---2---,f′′′(0) = 2 1 + x (1 + x)2 (1 + x)3

(iv) --2-⋅3-- (iv) f (x) = − (1 + x)4,f (0) = − 6

В целом закономерность уже видна, можно легко понять, что

k− 1 f(k)(x) = (−-1)---(k-−-1)!, f(k)(0) = (− 1)k−1(k − 1 )! (1 + x)k

А потому, $k$ -ый коэффициент в формуле Маклорена будет

f(k)(0) (− 1)k− 1(k − 1)! (− 1)k−1 ------xk = ---------------xk = -------xk k! k! k

И мы доказали формулу для логарифма.

4. Ясно, что функцию $x e$ можно разложить по формуле Маклорена до любого члена, поскольку она сколько угодно раз дифференцируема в нуле.

Давайте поймём закономерность производных $f(x) = ex$ в нуле: $f (0) = 1$ ,

f′(x ) = ex,f′(0) = 1,f ′′(x ) = ex,f′′(0) = 1,f′′′(x) = ex,f′′′(0) = 1

В целом закономерность тут очевидна - ведь все производные $ex$ - это сама $ex$ и есть, а поэтому они все в нуле равны единице. А потому, $k$ -ый коэффициент в формуле Маклорена будет

f(k)(0 ) 1 -------xk = --xk k! k!

И мы доказали формулу для экспоненты.

5. Ясно, что функцию $m (1+ x)$ можно разложить по формуле Маклорена до любого члена, поскольку она сколько угодно раз дифференцируема в нуле.

Давайте поймём закономерность производных $f(x) = (1+ x )m$ в нуле: $f (0 ) = 1$ ,

f′(x ) = m (1+x )m−1,f′(0) = m, f′′(x) = m (m − 1)(1+x)m −2,f′′(0) = m (m − 1),f ′′′(x) = m(m − 1)(m − 2)(1+x )m −3,f′′&#x2

Закономерность ясна,

f (k)(0) = m (m − 1)(m − 2)...(m − (k − 1))

А потому, $k$ -ый коэффициент в формуле Маклорена будет

(k) f--(0)xk = m(m--−-1)(m--−-2)...(m-−-(k-−-1))xk k! k!

И мы доказали формулу для степенной функции.

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.18 Пределы функций на Тейлора и Лопиталя.

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ