.18 Пределы функций на Тейлора и Лопиталя.

Изначально наше выражение, у которого нужно посчитать предел, вообще не имеет вид , поэтому нам самим нужно привести его к такому виду.

Итак, ясно, что

где

Далее, и удовлетворяют всем условиям правила Л’Опиталя, если рассматривать их как функции определенные в проколотой окрестности точки , например на таком проколотом интервале (интервале без точки), как .
Кроме того, исходный предел является неопределенностью вида

Отношение же их производных равно

и вновь в пределе является неопределенностью вида .

Применим правило Л’Опиталя ещё раз!
Отношение производной числителя к производной знаменателя у дроби равно

и предел этого отношения при равен

(проверьте сами, что производная знаменателя дроби

то есть

не равно 0 в какой-то проколотой окрестности точки 1)

А, значит, по правилу Л’Опиталя, примененного к пределу , мы имеем, что . Но тогда по правилу Л’Опиталя, примененного к пределу , мы имеем, что

Таким образом, мы получили, что