.31 Экстремумы функций одной переменной.

Пусть для определенности, - точка локального минимума (с локальным максимумом будут аналогичные рассуждения).

Давайте рассуждать от противного:
1. Пусть, например, производная функции  в точке меньше То есть для некоторого числа

Но тогда, поскольку

А это попросту означает, по теореме о сохранении знака при предельном переходе, что выражение при достаточно маленьком имеет тот же знак, что и

То есть, при достаточно маленьких имеем, что

Однако, поскольку - точка локального минимума, то при маленьких в числителе будет стоять неотрицательная величина, так как в достаточно маленькой окрестности локального минимума будет выполнено, что C другой стороны, поскольку к мы можем стремиться с любой стороны, то знак мы можем выбрать сами как захотим при стремлении А, значит, мы сами можем сделать знаменатель неотрицательным, то есть стремится к 0 так, чтобы Но тогда и вся дробь у нас будет неотрицательна, как отношение двух неотрицательных чисел, то есть мы можем добиться того, чтобы

что противоречит изначальному предположению о том, что
при достаточно маленьких имеем, что Противоречие.

2. Если же производная функции  в точке больше То есть для некоторого числа то будет аналогичное противоречие, нужно лишь брать и делать таким образом отношение

вопреки предположению о том, что