.31 Экстремумы функций одной переменной.

Давайте поймём, в каких точках - дифференцируема, а в каких точках - нет.

Во-первых, является композицией и .

- дифференцируема всюду, кроме нуля, а - всюду дифференцируема. Поэтому по теореме о производной композиции наша композиция заведомо дифференцируема там, где .

То есть, в отрезке подозрительными точками будут нули производной , концы отрезка и , а также точки и .

Поскольку
То То единственная точка, где - это .

Причём видно, что в левой полуокрестности , то есть если отойти немного от налево, то будет больше нуля, а если немного отойти от направо, то будет меньше нуля.

Следовательно, точка - точка локального максимума.

Далее, в силу того, что корни нашей параболы находятся строго внутри отрезка , то а она ветвями вверх, то обе точки и будут точками локального максимума.

Что же с точками и ? В этих точках , очевидно, равна нулю, а при этом сама для всех . Следовательно, эти две точки - точки и будут точками локального минимума.

Ответ: