.31 Экстремумы функций одной переменной.

a) Вычислим производную нашей функции, которую мы приравниваем к нулю:

Следовательно, у производной есть только 2 корня: и .

Притом, корень - четной кратности, поэтому имеем такую табличку монотонности:

Кроме того, в силу того, что многочлен имеет чётную степень, то очевидно, что при он стремится к , и при он стремится к . Поэтому его график эскизно может выглядеть вот так:

И в таком случае он будет иметь два вещественных корня.

С другой стороны, конечно, график мог достичь экстремума и не пересекая оси и быть таким:

Однако это бы попросту означало, что наш многочлен всегда остаётся положительным. Но это заведомо не так, поскольку если подставить в него , получим значение . Тем самым, второй случай точно исключен, и, значит, всё таки его график выглядит примерно так:

А, следовательно, он имеет в точности 2 вещественных корня.

b) Вычислим производную нашей функции, которую мы приравниваем к нулю:

Следовательно, у производной есть 2 корня: и .

Имеем такую табличку монотонности:

Кроме того, в силу того, что многочлен имеет нечётную степень, то очевидно, что при он стремится к , и при он стремится к . Поэтому его график эскизно может выглядеть одним из следующих трёх образов:

(Случаи, когда горб графика касается оси исключаем, поскольку очевидно, что ни точка , ни точка не является корнем нашего многочлена )

Какой же из этих случаев реализуется на самом деле?

Достаточно подставить точку в многочлен и получить, что его значение в равно . Следовательно, на самом деле реализуется первый из трёх вариантов, а, значит, наше уравнение имеет ровно 1 корень, причем этот корень заведомо положительный.