08 Метод виртуальных перемещений - Каталог заданий по Олимпиадной физике в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#43967Максимум баллов за задание: 10

Металлический куб прикреплён в точке A к тяжёлой однородной верёвке, перекинутой через два лёгких блока. Другой конец верёвки закреплён на неподвижной опоре в точке B так, что точки A и B находятся на одинаковой высоте (см. рисунок). Силы $F = 110 Н 1$ и $F = 90 Н 2$ , приложенные к осям блоков, удерживают систему в равновесии. Определите длину верёвки $L$ . Линейная плотность верёвки (масса единицы длины) равна $ρ = 0,25 кг/м$ , а $g = 10м/ с2$ . Трения в осях блоков нет. Радиусом блоков по сравнению с длиной верёвки пренебречь нельзя.

Источники: Всеросс., 2011, РЭ, 10

Показать ответ и решение

Так как трения в оси верхнего блока нет, а точки $A$ и $B$ находятся на одном уровне, то $| | | | ||⃗TA|| = ||⃗TB ||$ . Спроецируем на вертикальную ось $OX$ внешние силы, действующие на тяжёлую верёвку и блоки (рис.):

− TA + F1 − F2 + TB − ρgL = 0, F − F = ρgL, 1 2

откуда:

F1 −-F2 L = ρg = 8 м

Ответ:

$L = F1−ρFg2 = 8 м$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано условие равновесия для левой части системы	4

Записано условие равновесия для правой части системы	4

Найдена $L$	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#43968Максимум баллов за задание: 10

С помощью массивного однородного каната, подвижного блока радиуса $R$ и неподвижного блока удерживают в покое груз. Масса каната $m$ , его длина $l$ , масса груза с подвижным блоком $M$ . Расстояния по вертикали $H1$ и $H2$ известны.
1) Найдите силу натяжения каната в точке $B$ .
2) Найдите прикладываемую к концу каната в точке $K$ силу $F$ .
Трением в осях блоков пренебречь.

Показать ответ и решение

Условие равновесия подвижного блока с грузом и куском каната $AC$ :

m- 2TA = M g + l πRg

От сюда сила натяжения в точке $A$ :

1 πmR TA = 2 M g+ -2l--g

Причём $TC = TA$ . Сила натяжения в точке $B$ :

TB = TA + m-H2g = 1M g+ πmR-g + m-H2g l 2 2l l

Для нахождения $F$ переместим мысленно кусок каната $KC$ , сместив точку $C$ вниз на малое расстояние $x$ . Работа всех сил над куском каната $KC$ равна изменению потенциальной энергии этого куска:

T x− Fx = m-xgH C l 1

Итaк,

m- 1 πmR-- m- F = TC − l gH1 = 2 M g+ 2l g− l H1g

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано условие равновесия подвижного блока с грузом и куском каната $AC$	2

Определена сила натяжения $T A$	2

Учтено равенство $TA = TC$ и найдено $TB$	2

Применена теорема о потенциальной энергии	2

Получено верное выражение для $F$	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#44296Максимум баллов за задание: 10

На гладком закреплённом шкиве радиусом $R$ висит массивный однородный канат массой $m$ и длиной $l = 6R$ , прикреплённый к шкиву в точке $E$ (см. рисунок). Точка $E$ и горизонтальная ось $O$ шкива находятся в одной вертикальной плоскости.
1) Найти силу натяжения каната в точке $A$ .
2) Найти силу натяжения каната в точке $B$ такой, что угол $DOB$ равен $α$ ( $sin α = 3 ∕4$ ).
(«Физтех», 2016, 11)

Показать ответ и решение

1) Из точки $A$ свисает $l − πR$ , тогда масса свисающей части каната $m ′ = m l-−-πR-. l$ Из второго закона Ньютона:

m ′g − TA = 0 ⇒ TA = mg l −-πR-= 6 −-π-mg l 6

2) Мысленно переместим участок АВ на малое расстояние $x$ :

x- TAx − TBx = m l ⋅ g ⋅ R sinα.

Отсюда

mg 11 − 2π TB = TA − ----= -------mg 12 12

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#44297Максимум баллов за задание: 10

В горах проведена линия электропередачи. Масса провода между двумя опорами $m$ , его длина $L$ . Расстояние по вертикали между нижней точкой провода $B$ и местом крепления его к верхней опоре в точке $A$ равно $H$ . Длина участка $AB$ провода равна $l$ . Найдите максимальную силу натяжения провода.

Показать ответ и решение

На участок $AB$ провода действует силы натяжения нити $T1$ и $T2$ .

Переместим мысленно маленький участок $Δm$ провода $AB$ вверх на малое расстояние $Δl$ вдоль кривой расположения провода.

Δm = m Δl- L

Работа сил натяжения равна изменению потенциальной энергии участка провода, при перемещении его из точки $B$ в точку $A$ :

m T2Δl− T1Δl = ΔmgH = -LΔlgH

Откуда:

m T2 − T1 =--gH. L

Запишем теперь условие равновесия для участка провода $AB$ с массой $′ ml- m = L$ (вектора $⃗ T1,$ $⃗ T2,$ $⃗′ m g$ образуют прямоугольный треугольник, достаточно записать теорему Пифагора для модулей векторов):

2 (-l )2 2 T1 + L mg = T2

Пользуемся формулой разности квадратов:

( )2 (T2 − T1)(T2 + T1) = lmg L

Подставим теперь известный результат для разности сил натяжения в точках $A$ и $B$ :

( )2 mgH (T2 + T1) = l-mg L L

l2 T2 + T1 = HL-mg

Сложим это уравнение с уравнением для разности сил натяжения $T2 − T1$ и получим:

H2-+-l2 T2 = mg 2HL .

Ответ:

$H2 + l2 T = mg -2HL---$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#44298Максимум баллов за задание: 10

Имеется цепочка, содержащая $n$ одинаковых невесомых звеньев скрепленных шарнирно. Пренебрегая трением, определить какое натяжение должна выдерживать нить, соединяющая точки 1 и 2, если к цепочке подвешен груз массы $m$ .

Показать ответ и решение

Представим, что груз $m$ опустился на расстояние $Δh$ . Из соображений симметрии понятно, что при этом большая диагональ каждого из звеньев удлинилась на $Δh ∕n$ . Следовательно, виртуальное удлинение между точками 1 и 2, равное виртуальному перемещению точки 2, также равно $Δh ∕n$ .

Запишем условие равенства нулю виртуальной работы:

Δh T ⋅----− mg ⋅ Δh = 0 ⇒ T = nmg n

Ответ:

$T = nmg$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#44299Максимум баллов за задание: 10

Тонкое кольцо радиусом $R$ заряжено зарядом $Q$ , равномерно распределённым по кольцу. Вдоль оси кольца расположена очень длинная нить, начинающаяся в его центре и равномерно заряженная с линейной плотностью заряда $γ$ (см. рисунок). Найти модуль силы электростатического взаимодействия нити с кольцом.

Источники: МОШ, 2010, 10

Показать ответ и решение

Сдвинем нить на $Δx$ вверх.
Потенциал кольца в центре:

kQ φ = ---. R

Изменение потенциальной энергии

F Δx = kQ-⋅γ ⋅Δx ⇒ F = kQγ-= --γQ-- R R 4π𝜀0R

Ответ:

$γQ F = 4π-𝜀R-- 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#44318Максимум баллов за задание: 10

Найдите силу $F$ взаимодействия непроводящей равномерно заряженной полусферы радиуса $R = 10 см$ с бесконечно длинным равномерно заряженным тонким стержнем. Один конец стержня расположен в центре полусферы, а стержень направлен вдоль оси симметрии полусферы, как показано на рисунке. Поверхностная плотность зарядов на полусфере $σ = 10−6 К л/м2$ , линейная плотность зарядов на стержне $−6 γ = 10 К л/м$ , электрическая постоянная $− 12 𝜀0 = 8,85 ⋅ 10 Ф/ м$ .

Источники: Ломоносов, 2017

Показать ответ и решение

Потенциал точки, находящейся на расстоянии $r$ от точечного заряда $q$ , относительно бесконечно удалённой от него точки равен

φ = ---q-- 4 π𝜀0r

Поскольку все точки поверхности полусферы находятся на одинаковом расстоянии $R$ от ее центра, и полусфера заряжена равномерно, потенциал точки $O$ , расположенной в центре полусферы, равен

φ = -σS---- O 4π𝜀0R

где $S = 2πR2 −$ площадь полусферы. Таким образом, $φ = -σR O 2𝜀0$ . Переместим стержень вдоль оси на небольшое расстояние $Δx$ . Так как стержень бесконечно длинный, это эквивалентно тому, что мы поместим на конец стержня, обращенный к полусфере, заряд $− γΔx$ . Энергия взаимодействия этого заряда с полусферой равна $ΔW = − γ Δx ⋅ φo$ . Эта величина равна изменению энергии системы «полусфера - стержень». С другой стороны, изменение энергии системы равно работе силы взаимодействия полусферы со стержнем при перемещении стержня на расстояние $Δx$ , т.е. $ΔW = − F Δx$ . Окончательно получаем

F = γσR--≈ 5,6 ⋅ 10−3H 2𝜀0

(Официальное решение Ломоносов)

Ответ:

$F = γσR-≈ 5,6 ⋅ 10−3H 2𝜀0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#124650Максимум баллов за задание: 10

Космическая станция, расположенная на геостационарной орбите, имеет форму цилиндра длины $L = 100$ км и радиуса $R = 1$ км. Станция заполнена воздухом (его молярная масса $M = 29$ г/моль) при атмосферном давлении и температуре $T = 295$ К. Цилиндрическая поверхность служит «полом» для обитателей станции. Станция вращается вокруг своей оси, и создает привычное ускорение свободного падения $g = 9.81$ м $2 ∕c$ на «полу».
1. Чему равен период вращения $τ$ ?
2. Мяч бросают из некоторой точки на «полу», а затем, спустя $t = τ∕2$ , ловят его в той же самой точке. С какой скоростью бросали мяч? Сопротивлением воздуха пренебречь.
3. Воздушный шарик радиуса $r = 3$ м наполнили гелием (молярная масса гелия $M ′ = 4$ г/моль). Шарик используют чтобы поднять груз неизвестной массы $m$ . Груз прикрепили к шарику легкой веревкой длины $L = 20$ м. Эта конструкция поднимается и в конце концов останавливается на высоте $H = 500$ м от «пола». Определите значение массы $m$ . Веревка (ее линейная плотность $λ = 1$ кг/м) прикреплена к «полу»в двух диаметрально противоположных точках цилиндра (так, что расстояние между ее концами равно $2R$ ). Пусть точки $A,B$ и $C$ - это два конца веревки и ее середина соответственно.
4. Пусть точка $C$ расположена на высоте $h$ над «полом». Найдите $TA − TC$ , разность сил натяжения веревки в точках $A$ и $C$ .
5. Пусть в точке $A$ угол, который составляет веревка с «полом» равен $α$ . Найдите отношение сил натяжения $TA∕TC$ .
6. Аппроксимируя форму веревки параболой, найдите $TC$ , если $h = 495$ м.
(NBPhO, 2024)

Показать ответ и решение

Решение
1. Обозначим угловую скорость вращения за $ω$ , тогда на полу станции центробежная сила $mω2R = mg$ . Тогда с учетом $ω τ = 2π$ :

( )2 2π- R = g τ

∘ -- τ = 2π R- g

2. В лабораторной системе отсчета (ЛСО) шарик будет двигаться по прямой. В этой системе отсчета за время $t$ станция повернется на угол $π$ , значит шарик должен лететь вдоль диаметра со скоростью $2R- 4R- t = τ$ . Скорость шарика в ЛСО складывается из скорости $ωR = 2πR- τ$ , скоторой двигается пол станции, и скорости броска $v$ . Тогда

∘ ----------------- ( 4R )2 ( 2πR )2 v = -τ- + -τ--

Преобразовав и подставив цифры, имеем:

2R-∘ ----2- v = τ 4+ π = 117m∕c

3. На воздушный шарик действует сила инерции и сила Архимеда со стороны воздуха $4πr3(ρB − ρr)⋅ω2(R − H ) 3$ . Эта сила уравновешена силой инерции действующей на груз $mω2(R − H + l)$ . В таком случае мы имеем уравнение:

4 3 2 2 3πr (ρB − ρr) ⋅ω (R − H ) = m ω (R − H + l) (1)

При расчете плотности газов $ρ$ будем пренебрегать эффектами связанными с зависимостью давления воздуха от высоты. Из уравнения Менделеева-Клапейрона получим:

m pM pV = νRgT ⇒ pV = --RgT ⇒ ρ = ---- M RgT

Подставляя плотности газов в уравнение (1), и выражая оттуда массу, имеем:

m = 4π-pr3--R-−-H---(M − M ′) 3 RgT R − H + l

4. Действие центробежной силы на тело эквивалентно нахождению в осесимметричном потенциале

∫ r( ) ω2r2 φ(r) = − ωx2 dx = −---- 0 2

При решении этого пункта удобно использовать принцип виртуальных перемещений для веревки. Вытянем ее конец $A$ на малую длину $dl$ вдоль направления силы $TA$ , тогда работа сил натяжения равна $dl(TA − TC)$ , а изменение энергии веревки в поле $φ(r)$ равно $dlλ(φ (R )− φ(R − h))$ . Значит

R2 − (R− h)2 TA − TC = − λω2----------- 2

Учитывая, что $ω = 2π- τ$ и раскрывая квадрат разности имеем:

TA − TC = − 2π2λh(2R-−-h) τ2

5. На единицу длины веревки действует сила инерции направленная из центра станции $O$ . Тогда относительно точки $O$ уравнение моментов на часть веревки, лежащую между точками $A$ и $C$ выглядит так:

TAR cosα = TC(R − h)

TA- R-−-h- TB = Rcosα

6. Аппроксимируя форму веревки параболой $y(x) = βx2$ , найдем $β$ из условия $R − h = y(R ) = βR2$ . Тогда $′ tan α = y (R) = 2βR$ , значит

cosα = ∘--2βR-----= ∘-----1------- 1 + 4β2R2 R2 1+ 4(R-−-h)2

Этот результат позволяет разрешить систему уравнений, полученных в пунктах (4) и (5):

( |{ T − T = − 2π2λh(2R-−-h) A C τ2 |( TA-= -R-−-h TC R cosα

Решая систему, получим:

2 --(---λh-(2R-−-h)-----)-- 3 TC = 2π = 12.6⋅10 H || || τ2||1 − ∘-----1-------|| ( ---R2----) 1+ 4(R − h)2

Ответ:

$∘ R- 1.τ = 2π g-$
$2R √------ 2.v = -τ- 4 + π2 = 117m ∕c$
$4π pr3 R − H ′ 3.m = 3-RgT- R−-H-+-l-(M − M )$
$λh(2R− h) 4.TA − TC = − 2π2---τ-2----$
$TA- -R−-h- 5. TB = R cosα$
$2-------λh(2R-−-h)------- 3 6.TC = 2π ( ) = 12.6⋅10 H || || τ 2||1 − ∘-----1-------|| ( ---R2----) 1+ 4(R − h)2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#129867Максимум баллов за задание: 10

На гладком закреплённом бревне радиусом $R$ висит массивный однородный канат массой $m$ и длиной $l = 7R,$ прикреплённый к бревну в точке $E$ (см. рисунок). Точка $E$ и ось $O$ бревна находятся в одной горизонтальной плоскости.
1) Найти силу натяжения каната в точке $A.$
2) Найти силу натяжения каната в точке $B$ такой, что угол $EOB$ равен $(sinα = 2∕3)$

$PIC$

Источники: «Физтех», 2016, 10-11

Показать ответ и решение

1. Выделим кусок нити, касающийся бревна в точке $A$ . Его длина вычисляется как $l1 = 7R − πR$ . Отметим силы, действующие на этот кусок нити:

Из условия равновесия:

m1g = TA

Пусть $m- λ = l$ — линейная плотность каната, тогда масса кусочка $m1$ вычисляется согласно формуле $m1 = λ⋅l1$ . Получаем ответ к первому вопросу задачи:

m 7 − π TA = m1g = --l1g ⇒ TA = -----⋅mg l 7

2. Рассмотрим теперь только кусок каната $AB$ . Отметим все силы, действующие на него:

Теперь мысленно переместим наш канат на $Δx$ влево. Имеет место:

ATA + ATB +Amg +A ΣN = 0 ⇒ TA ⋅Δx − TB ⋅Δx + Δmg ⋅R sinα = 0

В нашем равенстве перейдем от $Δm$ к $Δx$ :

( ) m- m- mg- 2 TA ⋅Δx − TB ⋅Δx + l g ⋅R sinα Δx = 0 ⇒ TB = TA + l gR sin α = 7 7 − π+ 3

Ответ:

$7− π mg ( 23 ) 1) TA = -7---⋅mg, 2) TB =-7- 3-− π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#129869Максимум баллов за задание: 10

Однородная гибкая верёвка длины $L = 1 м$ и массой $m = 320 г$ подвешена к горизонтальному потолку таким образом, что глубина «провиса» верёвки равна $h = 25 см.$ Найти минимальную и максимальную величины силы натяжения верёвки. Ускорение свободного падения равно $g = 10 м/ с2.$

$PIC$

Источники: «Покори Воробьёвы горы!», 2018, 10-11

Показать ответ и решение

1. Отметим силы, действующие на правую «половину» каната:

Пишем условие равновесия:

T⃗min +T⃗max + m-⃗g = ⃗0 2

Запишем теперь теорему Пифагора для векторного треугольника сил:

2 m2 2 2 Tmin +-4-g = Tmax

2. Далее воспользуемся методом вирт. перемещений. Уберем мысленно левую часть каната и сдвинем оставшуюся на $Δx$ вверх

Tmax ⋅Δx − Tmin ⋅Δx − Δmgh = 0

Перейдем от $Δm$ к $Δx$ , сократим на $Δx$ :

m- Tmax − Tmin − Lgh = 0

Отсюда выразим $Tmax$ и подставим в равенство, полученное в предыдущем пункте

2 2 2 2 2 2 Tm2in + m-g2 = T2min + 2Tminm-gh+ m-g2h-⇒ Tmin = mg-∕4−-mgh-∕L- = 1,2 Н 4 L L 2h∕L

Зная $Tmin$ несложно определить $Tmax = 2 Н$

Ответ:

$mg∕4 − mgh2∕L2 Tmin = -----2h∕L------= 1,2 Н, Tmax = 2 Н$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#129870Максимум баллов за задание: 10

Тонкий жёсткий непроводящий стержень длиной $L$ несёт на себе электрический заряд $Q,$ который равномерно распределен под длине стержня. Маленький шарик имеет электрический заряд $q$ и прикреплён к одному из концов стержня тонкой непроводящий и незаряженной нитью длиной $R.$ Какова сила натяжения нити, если система находится в равновесии? Считать, что $Q∕q > 0.$ Силу тяжести не учитывать.

Показать ответ и решение

1. Выделим элементарный заряд $dQ,$ создающий поле $dE⃗$ :

kdQ dE = -2-- r

От $dQ$ перейдем к $dr$ :

Q- dQ = Ldr

Тогда:

∫ ∫ L+R ( ) E = k- ⋅ Qdr = kQ dr ⇒ E = kQ- -1− ---1-- r2 L L R r2 L R L + R

Перейдем от напряженности к электрической силе:

( ) kQ- 1- --1--- Fэл = q ⋅ L R − L + R

Но сила наятжения равна электрической силе, получаем ответ на вопрос задачи:

T = --kQq---- R(R + L)

Ответ:

$kQq T = R-(R+-L-)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#130655Максимум баллов за задание: 10

Используя метод виртуальных перемещений, определите, какую силу $F$ надо приложить к концу нити, чтобы удерживать систему с грузом массой $m$ в равновесии (см. рисунок).

$PIC$

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#130656Максимум баллов за задание: 10

Три зубчатых колеса радиусами $R1, R2,R3,$ связаны друг с другом (см. рисунок). К первому колесу прикладывают $M1.$
а) Определите, какой момент $M 3$ надо приложить к третьему колесу, чтобы колеса не вращались.
б) Определите, какой момент $M3$ надо приложить к третьему колесу, чтобы колеса не вращались, считая, что к первому колесу приложен момент $M1$ по часовой стрелке, а ко второму - момент $M2$ против часовой стрелки.

$PIC$

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ: