Метод виртуальных перемещений —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#43967

Металлический куб прикреплён в точке A к тяжёлой однородной верёвке, перекинутой через два лёгких блока. Другой конец верёвки закреплён на неподвижной опоре в точке B так, что точки A и B находятся на одинаковой высоте (см. рисунок). Силы $F = 110 Н 1$ и $F = 90 Н 2$ , приложенные к осям блоков, удерживают систему в равновесии. Определите длину верёвки $L$ . Линейная плотность верёвки (масса единицы длины) равна $ρ = 0,25 кг/м$ , а $g = 10м/ с2$ . Трения в осях блоков нет. Радиусом блоков по сравнению с длиной верёвки пренебречь нельзя.

(Всеросс., 2011, РЭ, 10)

Источники: Всеросс., 2011, РЭ, 10

Показать ответ и решение

Так как трения в оси верхнего блока нет, а точки $A$ и $B$ находятся на одном уровне, то $| | | | ||⃗TA|| = ||⃗TB ||$ . Спроецируем на вертикальную ось $OX$ внешние силы, действующие на тяжёлую верёвку и блоки (рис.):

− TA + F1 − F2 + TB − ρgL = 0, F − F = ρgL, 1 2

откуда:

F1 −-F2 L = ρg = 8 м

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано условие равновесия для левой части системы	4

Записано условие равновесия для правой части системы	4

Найдена $L$	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#43968

С помощью массивного однородного каната, подвижного блока радиуса $R$ и неподвижного блока удерживают в покое груз. Масса каната $m$ , его длина $l$ , масса груза с подвижным блоком $M$ . Расстояния по вертикали $H1$ и $H2$ известны.
1) Найдите силу натяжения каната в точке $B$ .
2) Найдите прикладываемую к концу каната в точке $K$ силу $F$ .
Трением в осях блоков пренебречь.

Показать ответ и решение

Условие равновесия подвижного блока с грузом и куском каната $AC$ :

m- 2TA = M g + l πRg

От сюда сила натяжения в точке $A$ :

1 πmR TA = 2 M g+ -2l--g

Причём $TC = TA$ . Сила натяжения в точке $B$ :

TB = TA + m-H2g = 1M g+ πmR-g + m-H2g l 2 2l l

Для нахождения $F$ переместим мысленно кусок каната $KC$ , сместив точку $C$ вниз на малое расстояние $x$ . Работа всех сил над куском каната $KC$ равна изменению потенциальной энергии этого куска:

T x− Fx = m-xgH C l 1

Итaк,

m- 1 πmR-- m- F = TC − l gH1 = 2 M g+ 2l g− l H1g

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано условие равновесия подвижного блока с грузом и куском каната $AC$	2

Определена сила натяжения $T A$	2

Учтено равенство $TA = TC$ и найдено $TB$	2

Применена теорема о потенциальной энергии	2

Получено верное выражение для $F$	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#44296

На гладком закреплённом шкиве радиусом $R$ висит массивный однородный канат массой $m$ и длиной $l = 6R$ , прикреплённый к шкиву в точке $E$ (см. рисунок). Точка $E$ и горизонтальная ось $O$ шкива находятся в одной вертикальной плоскости.
1) Найти силу натяжения каната в точке $A$ .
2) Найти силу натяжения каната в точке $B$ такой, что угол $DOB$ равен $α$ ( $sin α = 3 ∕4$ ).
(«Физтех», 2016, 11)

Показать ответ и решение

1) Из точки $A$ свисает $l − πR$ , тогда масса свисающей части каната $m ′ = m l-−-πR-. l$ Из второго закона Ньютона:

m ′g − TA = 0 ⇒ TA = mg l −-πR-= 6 −-π-mg l 6

2) Мысленно переместим участок АВ на малое расстояние $x$ :

x- TAx − TBx = m l ⋅ g ⋅ R sinα.

Отсюда

mg 11 − 2π TB = TA − ----= -------mg 12 12

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#44297

В горах проведена линия электропередачи. Масса провода между двумя опорами $m$ , его длина $L$ . Расстояние по вертикали между нижней точкой провода $B$ и местом крепления его к верхней опоре в точке $A$ равно $H$ . Длина участка $AB$ провода равна $l$ . Найдите максимальную силу натяжения провода.

Показать ответ и решение

На участок $AB$ провода действует силы натяжения нити $T1$ и $T2$ .

Переместим мысленно маленький участок $Δm$ провода $AB$ вверх на малое расстояние $Δl$ вдоль кривой расположения провода.

Δm = m Δl- L

Работа сил натяжения равна изменению потенциальной энергии участка провода, при перемещении его из точки $B$ в точку $A$ :

m T2Δl− T1Δl = ΔmgH = -LΔlgH

Откуда:

m T2 − T1 =--gH. L

Запишем теперь условие равновесия для участка провода $AB$ с массой $′ ml- m = L$ (вектора $⃗ T1,$ $⃗ T2,$ $⃗′ m g$ образуют прямоугольный треугольник, достаточно записать теорему Пифагора для модулей векторов):

2 (-l )2 2 T1 + L mg = T2

Пользуемся формулой разности квадратов:

( )2 (T2 − T1)(T2 + T1) = lmg L

Подставим теперь известный результат для разности сил натяжения в точках $A$ и $B$ :

( )2 mgH (T2 + T1) = l-mg L L

l2 T2 + T1 = HL-mg

Сложим это уравнение с уравнением для разности сил натяжения $T2 − T1$ и получим:

H2-+-l2 T2 = mg 2HL .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#44298

Имеется цепочка, содержащая $n$ одинаковых невесомых звеньев скрепленных шарнирно. Пренебрегая трением, определить какое натяжение должна выдерживать нить, соединяющая точки 1 и 2, если к цепочке подвешен груз массы $m$ .

Показать ответ и решение

Представим, что груз $m$ опустился на расстояние $Δh$ . Из соображений симметрии понятно, что при этом большая диагональ каждого из звеньев удлинилась на $Δh ∕n$ . Следовательно, виртуальное удлинение между точками 1 и 2, равное виртуальному перемещению точки 2, также равно $Δh ∕n$ .

Запишем условие равенства нулю виртуальной работы:

Δh T ⋅----− mg ⋅ Δh = 0 ⇒ T = nmg n

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#44299

Тонкое кольцо радиусом $R$ заряжено зарядом $Q$ , равномерно распределённым по кольцу. Вдоль оси кольца расположена очень длинная нить, начинающаяся в его центре и равномерно заряженная с линейной плотностью заряда $γ$ (см. рисунок). Найти модуль силы электростатического взаимодействия нити с кольцом.
(МОШ, 2010, 10)

Источники: МОШ, 2010, 10

Показать ответ и решение

Сдвинем нить на $Δx$ вверх.
Потенциал кольца в центре:

kQ φ = ---. R

Изменение потенциальной энергии

F Δx = kQ-⋅γ ⋅Δx ⇒ F = kQγ-= --γQ-- R R 4π𝜀0R

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#44318

Найдите силу $F$ взаимодействия непроводящей равномерно заряженной полусферы радиуса $R = 10 см$ с бесконечно длинным равномерно заряженным тонким стержнем. Один конец стержня расположен в центре полусферы, а стержень направлен вдоль оси симметрии полусферы, как показано на рисунке. Поверхностная плотность зарядов на полусфере $σ = 10−6 К л/м2$ , линейная плотность зарядов на стержне $−6 γ = 10 К л/м$ , электрическая постоянная $− 12 𝜀0 = 8,85 ⋅ 10 Ф/ м$ .

(Ломоносов, 2017)

Источники: Ломоносов, 2017

Показать ответ и решение

Потенциал точки, находящейся на расстоянии $r$ от точечного заряда $q$ , относительно бесконечно удалённой от него точки равен

φ = ---q-- 4 π𝜀0r

Поскольку все точки поверхности полусферы находятся на одинаковом расстоянии $R$ от ее центра, и полусфера заряжена равномерно, потенциал точки $O$ , расположенной в центре полусферы, равен

φ = -σS---- O 4π𝜀0R

где $S = 2πR2 −$ площадь полусферы. Таким образом, $φ = -σR O 2𝜀0$ . Переместим стержень вдоль оси на небольшое расстояние $Δx$ . Так как стержень бесконечно длинный, это эквивалентно тому, что мы поместим на конец стержня, обращенный к полусфере, заряд $− γΔx$ . Энергия взаимодействия этого заряда с полусферой равна $ΔW = − γ Δx ⋅ φo$ . Эта величина равна изменению энергии системы «полусфера - стержень». С другой стороны, изменение энергии системы равно работе силы взаимодействия полусферы со стержнем при перемещении стержня на расстояние $Δx$ , т.е. $ΔW = − F Δx$ . Окончательно получаем

F = γσR--≈ 5,6 ⋅ 10−3H 2𝜀0

(Официальное решение Ломоносов)

Ответ:

08 Метод виртуальных перемещений