.02 Глобальные свойства непрерывных и дифференцируемых функций. Теорема Лагранжа, Коши, теоремы Вейерштрасса, и следствия.

Вспомним вторую теорему Вейерштрасса о достижении непрерывной функции на отрезке своих минимального и максимального значений:

Теорема (Вейерштрасс): Пусть непрерывна на отрезке . Тогда она достигает на нём своей точной верхней и точной нижней грани. Иными словами, если обозначить , , то обязательно найдутся точки такие, что

Задача: Показать, что требование непрерывности на всем отрезке для функции существенно. А именно, привести пример такой функции , которая не была бы непрерывна в каждой точке отрезка , но удовлетворяла бы всем остальным условиям второй теоремы Вейерштрасса. И, самое главное, чтобы для этой функции не выполнялось заключение теоремы Вейерштрасса, то есть чтобы она не достигала ни минимального, ни максимального значения на этом отрезке.