.02 Глобальные свойства непрерывных и дифференцируемых функций. Теорема Лагранжа, Коши, теоремы Вейерштрасса, и следствия.

Давайте докажем достаточное условие неубывания, то есть предположим, что . Для невозрастания доказательство будет абсолютно аналогичным.

Возьмем любые две точки . И пусть, скажем, . Тогда ясно, что отрезок целиком лежит внутри интервала , и мы получаем, что непрерывна на , дифференцируема в интервале , а, значит, к ней применима теорема Лагранжа:

однако по условию , поскольку , а значит и .

Кроме того, мы сами взяли так, чтобы . Тем самым мы получаем, что правая часть равенства неотрицательна. Но, значит, такова и левая часть. Следовательно, , или, что то же самое, . Но это и означает, что не убывает на , поскольку точки и были взяты произвольно и причем , а из этого получилось, что .