.02 Глобальные свойства непрерывных и дифференцируемых функций. Теорема Лагранжа, Коши, теоремы Вейерштрасса, и следствия.

Поместим многоугольник между двумя параллельными прямыми и , не пересекающими этот многоугольник.

Обозначим за расстояние между этими прямыми.

Тогда ясно, что для каждого можно провести прямую , параллельную и , лежащую между и и расстояние от которой до прямой будет равно в точности .
Рассмотрим теперь функцию

Очевидно, что будет непрерывна на отрезке .

Ясно, что , поскольку - это площадь, зажатая между двумя совпадающими прямыми, а .

Обозначим площадь всего многоугольника за . Тогда, по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, для числа , лежащего строго между и , найдётся такая точка , что

Именно прямая , таким образом, и отсечет от нашего многоугольника ровно половину его площади.