.02 Глобальные свойства непрерывных и дифференцируемых функций. Теорема Лагранжа, Коши, теоремы Вейерштрасса, и следствия.

Рассмотрим .

Нетрудно проверить, что будет всюду на дифференцируемой функцией (дифференцируемость в любой точке следует из того, что в достаточно малых окрестностях этих точек является произведением дифференцируемого на .

Дифференцируемость в нуле проверяется по определению).

Тогда давайте на отрезке () применим к теорему Лагранжа (теорему о конечных приращениях).

Получим

где .

Так как при , то получаем, что последняя формула превращается в

Далее, коль скоро , можно это последнее равенство спокойно сократить на :

Перегруппируем немного

Теперь же давайте устремим к нулю справа.

Ясно, что как произведение бесконечно малой на ограниченную

Далее, поскольку , то при выполнено, что , а значит опять как произведение бесконечно малой на ограниченную

Но тогда получаем, что

И мы с вами получили, что функция стремится к нулю при . Чего, конечно, быть не может, потому что можно взять две последовательности

Задача. В чём ошибка в рассуждениях???