.02 Глобальные свойства непрерывных и дифференцируемых функций. Теорема Лагранжа, Коши, теоремы Вейерштрасса, и следствия.

Если положить , да так, что , то получим, что

А тогда соотношение выпуклости

можно переписать в более приятном виде

Что легко преобразовать в

для любых и . А теперь приступим к доказательству основного утверждения.

1. . Пусть - выпукла на интервале . То есть, как мы поняли, это означает, что

для любых и , .

Тогда, если в неравенстве

перейти к пределу при , то слева получим в точности определение производной, а справа, в силу непрерывности, получим значение правой части в точке :

(здесь мы, конечно, пользуемся тем, что неравенство сохраняется при предельном переходе).

Переходя же в неравенстве

к пределу при , получим, по аналогичным соображениям, что

А тогда объединяя все эти усилия воедино, имеем:

То есть,

А поскольку точки и были произвольными точками интервала , причем , то мы получаем в точности монотонное неубывание производной на .

2. 1. . Обратно. Пусть у производная монотонно неубывает на . Тогда по теореме Лагранжа (формуле конечных приращений), мы будем иметь для любой точки такой, что , что найдётся такая точка , что

И аналогично найдётся такая, что

И коль скоро мы предполагаем монотонное неубывание производной, а , в то время как , то есть , то обязательно

А, значит,

А это в точности и есть переписанное нами в самом начале эквивалентное условие выпуклости функции на .