15.02 Задачи №15 из сборника И.В. Ященко

Сделаем замену Тогда неравенство примет вид

Решим полученное неравенство методом интервалов:

 

 

Получаем и Сделаем обратную замену:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Сделаем замену Тогда неравенство примет вид

Решим полученное неравенство методом интервалов:

 

 

Получаем и Сделаем обратную замену:

Решением неравенства является

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

ОДЗ неравенства:

Решим неравенство на ОДЗ.

Исследуем основание логарифма Так как то

Следовательно, неравенство можно переписать в виде (при переходе на аргументы логарифмов знак неравенства меняется на противоположный, так как основание ):

Пересечем ответ с ОДЗ:

Следовательно, ответ:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

ОДЗ неравенства:

Решим неравенство на ОДЗ.

Исследуем основание логарифма Так как то значит,

Следовательно, неравенство можно переписать в виде (при переходе на аргументы логарифмов знак неравенства не меняется на противоположный, так как основание ):

Пересечем ответ с ОДЗ:

Следовательно, ответ:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ограничения логарифма:

Преобразуем неравенство

По методу рационализации получаем

Нули числителя и знаменателя: Так как то не определено взаимное расположение и Сравним эти числа:

Так как а то следовательно,

Решим неравенство методом интервалов:

Отсюда получаем

Чтобы пересечь полученные значения с ограничениями, нужно сравнить и

Следовательно, Тогда ответ

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ограничения логарифма: При этих неравенство равносильно

Воспользуемся методом рационализации для каждого множителя в числителе и в знаменателе:

Заметим, что

Тогда Решим полученное неравенство методом интервалов с учетом

Следовательно, окончательно получаем:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Запишем ОДЗ:

Исходное неравенство на ОДЗ равносильно совокупности

Решим неравенство из совокупности методом рационализации:

Поделим неравенство на

Тогда окончательно получаем

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Запишем ОДЗ:

Заметим, что следовательно, условие выполнено для любого Таким образом,

Исходное неравенство на ОДЗ равносильно совокупности

Решим неравенство из совокупности методом рационализации:

Умножим неравенство на

Тогда окончательно получаем

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Найдем ОДЗ:

Решим на ОДЗ:

Заметим, что раскрылся отрицательно, то есть так как по ОДЗ — отрицательный.

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Получаем и Пересечем полученные значения с ОДЗ и получим

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Найдем ОДЗ:

Решим на ОДЗ:

Заметим, что раскрылся отрицательно, то есть так как по ОДЗ — отрицательный.

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Получаем Пересечем полученные значения с ОДЗ и получим

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Пусть тогда неравенство примет вид:

Разложим левую часть на множители как квадратный трехчлен относительно выражения

Заметим, что а Тогда имеем

Отсюда по методу интервалов получаем

При получим откуда

При получим откуда

Объединяя, получаем решения исходного неравенства:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Неравенство равносильно

Сделаем замену Тогда неравенство примет вид

Сделаем замену Тогда Перейдем к переменной

Сделаем обратную замену:

Тогда окончательно получаем

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ограничение данного неравенства:

Заметим, что на ОДЗ справедливо:

Тогда воспользуемся свойствами логарифма для левой части неравенства:

И для правой части неравенства:

Получили следующее неравенство:

Рационализируем, учтя, что основания показательной функции и логарифма больше 1:

Решим полученное неравенство методом интервалов и пересечем с ОДЗ исходного неравенства:

 

 

Таким образом,

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ограничение данного неравенства:

Заметим, что на ОДЗ справедливо:

Тогда воспользуемся свойствами логарифма для левой части неравенства:

И для правой части неравенства:

Получили следующее неравенство:

Рационализируем, учтя, что основания показательной функции и логарифма больше 1:

Решим полученное неравенство методом интервалов и пересечем с ОДЗ исходного неравенства:

 

 

Таким образом,

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

ОДЗ:

Решим неравенство на ОДЗ. Преобразуем его к виду

Воспользуемся формулой которая верна при (что выполнено на нашей ОДЗ). Тогда неравенство можно преобразовать

Воспользуемся формулой которая верна при (что выполнено на нашей ОДЗ):

На ОДЗ следовательно, значит, неравенство равносильно

Получили верное неравенство. Следовательно, решением исходного неравенства будет ОДЗ. То есть ответ

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

По свойствам логарифма исходное неравенство равносильно:

Последний переход корректен, так как первое неравенство системы выполняется при всех из ОДЗ: ведь основание логарифма левой части меньше основания логарифма правой части, а аргументы равны.

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Найдем ОДЗ:

Решим неравенство на ОДЗ.

Пусть Тогда неравенство примет вид

Сделаем обратную замену:

Учитывая ОДЗ, получаем ответ:

Преобразуем неравенство

Разделим обе части неравенства на положительное

Сделаем замену тогда получим квадратичное неравенство

Найдем корни квадратичного трехчлена Для этого найдем его дискриминант:

Тогда

Тогда решением квадратичного неравенства будут Сделаем обратную замену, заметив, что

Данное неравенство равносильно

Решим каждое неравенство методом интервалов и пересечем их решения:

Следовательно, ответ

Найдем ОДЗ:

Решим неравенство на ОДЗ.

Применив метод рационализации для логарифма, получим

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Получаем и

Пересечем полученное множество с ОДЗ и окончательно получим

ОДЗ:

Преобразуем неравенство

Применим метод рационализации:

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Получаем и Пересекая с ОДЗ получаем итоговый ответ:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».