18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Рассмотрим первое уравнение:

Таким образом, первое уравнение задает пучок прямых, проходящих через точку

Рассмотрим второе уравнение Оно задает галочку модуля с вершиной в точке и угловым коэффициентом

Вычислим координаты точек пересечения графиков, задаваемых этими уравнениями. Для этого приравняем правые части:

Заметим, что при оба уравнения задают прямую поэтому никакой фигуры не образуется, то есть значение нам не подходит.

Рассмотрим два случая: и

Пусть тогда имеем

Если то получаем

Тогда

Получили точку

Если то получаем

Тогда

Получили точку

При ветви уголка модуля направлены вверх, а его вершина находится в точке Тогда имеем следующую картинку:

Таким образом, фигура, ограниченная линиями — это треугольник. Вычислим его площадь. Для этого найдем длину его стороны с концами в точках и а также расстояние от третьей вершины до прямой содержащей сторону треугольника.

По формуле расстояния между двумя точками длина стороны равна

Перепишем уравнение прямой в другом виде:

Если нам даны прямая и точка то расстояние от точки до этой прямой можно вычислить по формуле

Применим эту формулу для прямой и точки

Тогда площадь треугольника при равна

Следовательно,

Пусть тогда имеем

Если то получаем

Тогда

Получили точку

Если то получаем

Тогда

Получили точку

При ветви уголка модуля направлены вниз, а его вершина находится в точке Тогда имеем следующую картинку:

Таким образом, фигура, ограниченная линиями — это треугольник. Вычислим его площадь. Для этого найдем длину его стороны с концами в точках и а также расстояние от третьей вершины до прямой содержащей сторону треугольника.

По формуле расстояния между двумя точками длина стороны равна

Применим формулу расстояния от точки до прямой для прямой и точки

Тогда площадь треугольника при равна

Следовательно,

Объединяя ответы в случаях и окончательно получаем