Тема 18. Задачи с параметром

18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#111329

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной линиями $y = a x+ 2a 2$ и $y = a|x|+|a|,$ будет меньше 7, но не меньше 3.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 1

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение:

a y = 2x+ 2a a y = 2 (x+ 4)

Таким образом, первое уравнение задает пучок прямых, проходящих через точку $(− 4;0).$

Рассмотрим второе уравнение $y = a|x|+ |a|.$ Оно задает галочку модуля с вершиной в точке $(0;|a|)$ и угловым коэффициентом $a.$

Вычислим координаты точек пересечения графиков, задаваемых этими уравнениями. Для этого приравняем правые части:

ax + 2a= a|x|+ |a|. 2

Заметим, что при $a= 0$ оба уравнения задают прямую $y =0,$ поэтому никакой фигуры не образуется, то есть значение $a= 0$ нам не подходит.

Рассмотрим два случая: $a >0$ и $a< 0.$

Пусть $a > 0,$ тогда имеем

ax +2a = a|x|+ a 2 x + 2= |x|+ 1 2 x+ 2= 2|x|

Если $x ≥ 0,$ то получаем

x+ 2 =2x x =2

Тогда

y = a(x+ 4)= a(2+ 4)= 3a. 2 2

Получили точку $(2;3a).$

Если $x < 0,$ то получаем

x + 2= −2x 3x= − 2 x =− 2 3

Тогда

( ) y = a(x + 4) = a − 2 +4 = 2 2 3 ( 1 ) 5 = a − 3 + 2 = 3a.

Получили точку $( ) − 2; 5a . 3 3$

При $a> 0$ ветви уголка модуля направлены вверх, а его вершина находится в точке $(0;a).$ Тогда имеем следующую картинку:

$( ) −a(0xy42−;3 23a;)53a$

Таким образом, фигура, ограниченная линиями — это треугольник. Вычислим его площадь. Для этого найдем длину его стороны с концами в точках $(2;3a)$ и $( ) − 2 ; 5a , 3 3$ а также расстояние от третьей вершины $(0;a)$ до прямой $a y = 2x+ 2a,$ содержащей сторону треугольника.

По формуле расстояния между двумя точками длина стороны равна

∘------------------------ ( ( 2))2 ( 5 )2 l+ = 2− − 3 + 3a − 3a = ∘--------- 64 16 2 4∘ ----2 = 9 + 9 a = 3 4 +a .

Перепишем уравнение прямой $a y = 2x+ 2a$ в другом виде:

y = ax+ 2a 2 2y = ax +4a ax− 2y+ 4a= 0

Если нам даны прямая $Ax + By+ C = 0$ и точка $M0 (x0;y0),$ то расстояние от точки $M0$ до этой прямой можно вычислить по формуле

|Ax0-+By0-+-C| h0 = √A2-+-B2 .

Применим эту формулу для прямой $ax− 2y+ 4a= 0$ и точки $(0;a):$

h+ = |a⋅∘0−-2⋅a+-4a|= √-2a---. a2 +(−2)2 a2+4

Тогда площадь треугольника при $a> 0$ равна

∘----- S+ = 1⋅l+⋅h+ = 1⋅ 4 4 +a2 ⋅√-22a---= 4a. 2 2 3 a + 4 3

Следовательно,

3≤ S+ < 7 3≤ 4a < 7 3 9≤ a < 21 4 4

Пусть $a < 0,$ тогда имеем

ax +2a = a|x|− a 2 x + 2= |x|− 1 2 x+ 4 =2|x|− 2 x+ 6= 2|x|

Если $x ≥ 0,$ то получаем

x+ 6 =2x x =6

Тогда

a a y = 2(x+ 4)= 2(6+ 4)= 5a.

Получили точку $(6;5a).$

Если $x < 0,$ то получаем

x + 6= −2x 3x= − 6 x = −2

Тогда

y = a(x + 4) = a(−2+ 4)= a. 2 2

Получили точку $(−2;a).$

При $a< 0$ ветви уголка модуля направлены вниз, а его вершина находится в точке $(0;−a).$ Тогда имеем следующую картинку:

$−−((0xy4a6−;52a;a))$

Таким образом, фигура, ограниченная линиями — это треугольник. Вычислим его площадь. Для этого найдем длину его стороны с концами в точках $(6;5a)$ и $(− 2;a),$ а также расстояние от третьей вершины $(0;−a)$ до прямой $y = ax+ 2a, 2$ содержащей сторону треугольника.

По формуле расстояния между двумя точками длина стороны равна

∘ ------------------- l− = (6− (−2))2+ (5a− a)2 = ∘ -------- ∘ ----- = 64+ 16a2 = 4 4+ a2.

Применим формулу расстояния от точки до прямой для прямой $ax− 2y+ 4a= 0$ и точки $(0;− a):$

h− = |a⋅0∘− 2-⋅(−-a)+4a|= √-−6a-. a2 +(−2)2 a2+ 4

Тогда площадь треугольника при $a< 0$ равна

∘----- S− = 1 ⋅l− ⋅h− = 1 ⋅4 4 +a2 ⋅√−26a--=− 12a. 2 2 a + 4

Следовательно,

3≤ S < 7 − 3≤ −12a < 7 7 1 − 12 < a ≤− 4

Объединяя ответы в случаях $a >0$ и $a< 0,$ окончательно получаем

( ] [ ) a ∈ −-7;− 1 ∪ 9; 21 . 12 4 4 4

Ответ:

$( ] [ ) −-7;− 1 ∪ 9; 21 12 4 4 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

	3

	2

	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#111330

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной линиями $y = a x+ a 2$ и $| | y =a|x|−||a||, 2$ будет больше 6, но не больше 12.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 2

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение:

a y = 2x + a a y = 2 (x+ 2)

Таким образом, первое уравнение задает пучок прямых, проходящих через точку $(− 2;0).$

Рассмотрим второе уравнение $y = a|x|− ||a||. |2|$ Оно задает галочку модуля с вершиной в точке $( |a|) 0;− ||2||$ и угловым коэффициентом $a.$

ax + a= a|x|− |||a|||. 2 2

Рассмотрим два случая: $a >0$ и $a< 0.$

Пусть $a > 0,$ тогда имеем

ax + a= a|x|− a 2 2 x + 1= |x|− 1 2 2 x+ 3= 2|x|

Если $x ≥ 0,$ то получаем

x+ 3 =2x x =3

Тогда

y = a(x + 2) = a(3+ 2) = 5a. 2 2 2

Получили точку $(3; 5a). 2$

Если $x < 0,$ то получаем

x + 3= −2x 3x= − 3 x = −1

Тогда

y = a(x+ 2)= a (− 1+ 2)= a. 2 2 2

Получили точку $( ) − 1; a . 2$

При $a> 0$ ветви уголка модуля направлены вверх, а его вершина находится в точке $( ) 0;− a . 2$ Тогда имеем следующую картинку:

$(( )) −−0xy3−2a2;152;a12a$

Таким образом, фигура, ограниченная линиями — это треугольник. Вычислим его площадь. Для этого найдем длину его стороны с концами в точках $( ) 3; 5a 2$ и $( ) −1; 1a , 2$ а также расстояние от третьей вершины $(0;− a) 2$ до прямой $a y = 2x+ a,$ содержащей сторону треугольника.

По формуле расстояния между двумя точками длина стороны равна

∘ -----------(-------)-- 2 5 1 2 l+ = (3 − (−1)) + 2a − 2a = ∘ ------- ∘ ----- = 16 + 4a2 =2 4+ a2.

Перепишем уравнение прямой $y = ax+ a 2$ в другом виде:

a y = 2x + a 2y = ax +2a ax− 2y+ 2a= 0

|Ax0-+By0-+-C| h0 = √A2 + B2 .

Применим эту формулу для прямой $ax− 2y+ 2a= 0$ и точки $a (0;− 2):$

( ) |a⋅0− 2⋅ − a + 2a| 3a h+ = ----∘-2----2-2----= √-2----. a +(−2) a +4

Тогда площадь треугольника при $a> 0$ равна

1 1 ∘----- 3a S+ = 2 ⋅l+ ⋅h+ = 2 ⋅2 4 +a2 ⋅√a2+-4-= 3a.

Следовательно,

6 < S+ ≤ 12 6< 3a≤ 12 2 < a≤ 4

Пусть $a < 0,$ тогда имеем

ax + a= a|x|+ a 2 2 x + 1= |x|+ 1 2 2 x+ 2 =2|x|+1 x+ 1= 2|x|

Если $x ≥ 0,$ то получаем

x+ 1 =2x x =1

Тогда

a a 3 y = 2 (x + 2) = 2 (1+ 2)= 2a.

Получили точку $( 3 ) 1;2a .$

Если $x < 0,$ то получаем

x + 1= −2x 3x= − 1 x =− 1 3

Тогда

( ) y = a(x+ 2)= a − 1+ 2 = 5a. 2 2 3 6

Получили точку $( ) 1 5 − 3;6a .$

При $a< 0$ ветви уголка модуля направлены вниз, а его вершина находится в точке $( a) 0;2 .$ Тогда имеем следующую картинку:

$−((0xya1−2;31a;)5a) 2 23 6$

Таким образом, фигура, ограниченная линиями — это треугольник. Вычислим его площадь. Для этого найдем длину его стороны с концами в точках $( ) 1; 3a 2$ и $( ) − 1 ; 5a , 3 6$ а также расстояние от третьей вершины $( ) 0; a 2$ до прямой $a y = 2x+ a,$ содержащей сторону треугольника.

По формуле расстояния между двумя точками длина стороны равна

∘ ------------------------ ( ( 1 ))2 ( 3 5 )2 l− = 1 − −3 + 2a− 6a = ∘ -------- = 16 + 4a2 = 2∘4-+-a2. 9 9 3

Применим формулу расстояния от точки до прямой для прямой $ax− 2y+ 2a= 0$ и точки $( a ) 0;2 :$

a |a ⋅0− 2⋅2 + 2a| − a h− = --∘a2-+(−2)2--= √a2-+-4.

Тогда площадь треугольника при $a< 0$ равна

1 1 2∘ ----2 -−-a--- a S− = 2 ⋅l− ⋅h− = 2 ⋅3 4 +a ⋅ √a2+-4 = − 3.

Следовательно,

6 < S− ≤ 12 a 6 <− 3 ≤12 − 36 ≤ a< −18

Объединяя ответы в случаях $a >0$ и $a< 0,$ окончательно получаем

a ∈[−36;−18)∪ (2;4].

Ответ:

$[−36;−18)∪ (2;4]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#111332

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ |x|− |y|√=a,-- x− 1= y+ 4

имеет ровно два различных решения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 3

Показать ответ и решение

Будем решать задачу графически в системе координат $xOy.$

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно равносильно системе:

{ (x − 1)2 = y+ 4 {y = (x− 1)2 − 4 x− 1≥ 0 ⇔ x≥ 1

Уравнение данной системы задает параболу, ветви которой направлены вверх, вершина находится в точке $A(1;− 4).$ Неравенство $x ≥ 1$ говорит нам о том, что от параболы нужно взять только правую ветвь, включая вершину.

Найдем точки пересечения параболы с осью $x :$

(x− 1)2 − 4 = 0 (x − 1)2 = 4 x− 1 =±2 ⇔ x= − 1;3

Следовательно, получаем точки $(− 1;0)$ и $(3;0).$

$−13−0xyA 14$

Рассмотрим первое уравнение системы. Раскроем модуль при $y :$

1.: При $y ≥ 0$ получаем: $|x|− y =a y = |x|− a = f+$
2.: При $y < 0$ получаем: $|x|+ y =a y =− |x|+ a= f−$

Графики функций $f+$ и $f−$ — уголки, ветви которых параллельны прямым $y = x$ и $y = − x.$

$f +$ — уголок с ветвями вверх, вершина находится в точке $F (0;−a), 1$ от которого нужно взять часть из верхней полуплоскости (включая точки на оси $x$ ).

$f−$ — уголок с ветвями вниз, вершина находится в точке $F2(0;a),$ от которого нужно взять часть из нижней полуплоскости.

Рассмотрим по отдельности случаи, когда $F1$ выше $F2,$ $F1$ совпадает с $F2$ и $F1$ ниже $F2.$

1.: $F 1$ выше $F 2$ при $− a> a,$ то есть при $a< 0 :$

$−a0xyFFa21$

Полученный график и есть график уравнения $|x|− |y|= a$ при $a < 0.$
2.: $F1$ совпадает с $F2$ при $− a= a,$ то есть при $a= 0:$

$0Fxy1 = F2$

Полученный график и есть график уравнения $|x|− |y|= a$ при $a = 0.$
3.: $F1$ ниже $F2$ при $− a < a,$ то есть при $a> 0:$

$a−0xyFFa12$

Полученный график и есть график уравнения $|x|− |y|= a$ при $a> 0$ (пунктир в него не входит).

Изобразим графики первого и второго уравнений при разных значениях параметра $a$ в одной системе координат.

1.

Если $a ≤0,$ получаем:

$13−0xyIFFA214$

При изменении $a$ от $0$ до $− ∞$ точка $F1$ движется вверх, точка $F2$ движется вниз.

Уголок с вершиной $F1$ всегда имеет ровно одну точку пересечения с голубым графиком.

Уголок с вершиной $F2$ имеет ровно одну точку пересечения с голубым графиком вплоть до момента, пока правая ветвь уголка не пройдет через точку $A.$

Положение $I:$ при $a ≤0$ прямая $y = −x +a$ проходит через $A(1;−4):$

− 4= −1 +a ⇔ a= −3

Следовательно, нам подходят все $a ∈ [−3;0].$

2.

Если $a >0,$ получаем:

$13−0xyIFFA4I12$

При изменении $a$ от $0$ до $+ ∞$ точка $F1$ движется вниз, точка $F2$ движется вверх.

Левые ветви обоих уголков не имеют общих точек с голубым графиком.

Правые ветви обоих уголков имеют по одной общей точке с голубым графиком до момента, пока «стык» этих ветвей не пройдет через точку $(3;0).$

Положение $II:$ при $a> 0$ точка $(a;0)$ совпадает с точкой $(3;0):$

a =3

Следовательно, нам подходят все $a ∈ (0;3).$

Объединив все подходящие значения параметра, получаем

a ∈[−3;3)

Ответ:

$a ∈[−3;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#111598

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ |y|− |x|√=a,-- x− 4= 9− y

имеет ровно два различных решения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 4

Показать ответ и решение

Будем решать задачу графически в системе координат $xOy.$

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно равносильно системе:

{ (x− 4)2 =9 − y {y = − (x − 4)2+ 9 x− 4≥ 0 ⇔ x ≥4

Уравнение данной системы задает параболу, ветви которой направлены вниз, вершина находится в точке $A(4;9).$ Неравенство $x ≥ 4$ говорит нам о том, что от параболы нужно взять только правую ветвь, включая вершину.

Найдем точки пересечения параболы с осью $x :$

− (x − 4)2+ 9= 0 (x − 4)2 = 9 x− 4= ±3 ⇔ x= 1;7

Следовательно, получаем точки $(1;0)$ и $(7;0).$

$14790xyA$

Рассмотрим первое уравнение системы. Раскроем модуль при $y :$

1.: При $y ≥ 0$ получаем: $y− |x|=a y = |x|+ a = f+$
2.: При $y < 0$ получаем: $− y− |x|= a y =− |x|− a= f−$

Графики функций $f+$ и $f−$ — уголки, ветви которых параллельны прямым $y = x$ и $y = − x.$

$f+$ — уголок с ветвями вверх, вершина находится в точке $F1(0;a),$ от которого нужно взять часть из верхней полуплоскости (включая точки на оси $x$ ).

$f−$ — уголок с ветвями вниз, вершина находится в точке $F2(0;− a),$ от которого нужно взять часть из нижней полуплоскости.

Рассмотрим по отдельности случаи, когда $F1$ выше $F2,$ $F1$ совпадает с $F2$ и $F1$ ниже $F2.$

1.: $F1$ выше $F2$ при $a > −a,$ то есть при $a >0 :$

$a−0xyFFa21$

Полученный график и есть график уравнения $|y|− |x|= a$ при $a > 0.$
2.: $F 1$ совпадает с $F 2$ при $a = −a,$ то есть при $a= 0 :$

$0Fxy1 = F2$

Полученный график и есть график уравнения $|y|− |x|= a$ при $a = 0.$
3.: $F1$ ниже $F2$ при $a < −a,$ то есть при $a< 0 :$

$−a0xyFFa12$

Полученный график и есть график уравнения $|y|− |x|= a$ при $a< 0$ (пунктир в него не входит).

Изобразим графики первого и второго уравнений при разных значениях параметра $a$ в одной системе координат.

1.

Если $a ≥0,$ получаем:

$4790xyIFFA21$

При изменении $a$ от $0$ до $+ ∞$ точка $F1$ движется вверх, точка $F2$ движется вниз.

Уголок с вершиной $F2$ всегда имеет ровно одну точку пересечения с голубым графиком.

Уголок с вершиной $F1$ имеет ровно одну точку пересечения с голубым графиком вплоть до момента, пока правая ветвь уголка не пройдет через точку $A.$

Положение $I:$ при $a ≥0$ прямая $y = x+ a$ проходит через $A(4;9):$

9 = 4+ a ⇔ a= 5

Следовательно, нам подходят все $a ∈ [0;5].$

2.

Если $a <0,$ получаем:

$4790xyIFFAI12$

При изменении $a$ от $0$ до $− ∞$ точка $F1$ движется вниз, точка $F2$ движется вверх.

Левые ветви обоих уголков не имеют общих точек с голубым графиком.

Правые ветви обоих уголков имеют по одной общей точке с голубым графиком до момента, пока «стык» этих ветвей не пройдет через точку $(7;0).$

Положение $II:$ при $a< 0$ точка $(−a;0)$ совпадает с точкой $(7;0) :$

a = −7

Следовательно, нам подходят все $a ∈ (− 7;0).$

Объединив все подходящие значения параметра, получаем

a ∈(−7;5]

Ответ:

$a ∈(−7;5]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#111599

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ 2 2 2 (x+ 4)+ (4− y) = 0,1a − 4(x + 1)− 4(y+ 1), |2x − 3|− |4 − y|= 5

имеет ровно два решения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 5

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение системы:

x2+ 8x+ 16+ 16− 8y+ y2 = 0,1a2− 4x− 4 − 4y− 4 2 2 2 x◟--+12◝x◜-+36◞− 36+ y◟-− 4◝y◜-+4◞ − 4= 0,1a − 16− 16− 4− 4 полныйквадрат полныйквадрат 2 2 a2 (x +6) + (y− 2) = 10

Обозначим точку $(− 6;2)$ за $O.$

Тогда полученное уравнение при $a ⁄= 0$ задает окружность с центром $O$ радиуса $|a| R = √10-;$ при $a = 0$ задает точку $O.$

Нам необходимо, чтобы исходная система имела ровно два решения. Следовательно, каждое уравнение системы должно иметь не менее двух решений, тогда случай $a = 0$ нам точно не подходит.

Далее рассматриваем $a⁄= 0.$

Рассмотрим второе уравнение системы. Запишем его в виде:

| | 2||x − 3||− |y− 4|= 5 | 2|

Раскроем модуль при $y :$

1.: При $y ≥ 4$ получаем: $| | 2 ||x − 3||− (y− 4)= 5 | 2| || 3|| y = 2||x − 2||− 1= f+$
2.: При $y < 4$ получаем: $| | || 3|| 2 |x − 2|+(y− 4)= 5 || || y = −2 ||x − 3 ||+9 = f− 2$

Графиком функции $y = f+$ является уголок, ветви которого направлены вверх и имеют наклон $± 2,$ а вершина имеет координаты $( ) 3;−1 . 2$ От этого уголка нужно взять части, находящиеся выше и на прямой $y =4.$

Графиком функции $y = f−$ является уголок, ветви которого направлены вниз и имеют наклон $± 2,$ а вершина имеет координаты $(3 ) 2;9 .$ От этого уголка нужно взять части, находящиеся ниже прямой $y = 4.$

Найдем точки пересечения этих уголков с прямой $y = 4:$

|| 3|| 2||x − 2||− |4− 4|= 5 ⇔ x= − 1; 4

Следовательно, это точки $(−1;4)$ и $(4;4).$ Получаем такой график второго уравнения исходной системы:

$−440xy 1$

Тогда нужно найти такие значения параметра $a,$ при которых окружность с центром $O(−6;2)$ и радиусом $|a| √10-$ будет иметь с полученным голубым графиком (без пунктира) ровно две общие точки.

Заметим, что если нам подходит $a0 >0,$ то подойдет и $− a0 < 0.$ Следовательно, можно решать задачу только для $a> 0,$ а полученные значения вместе с противоположными значениями параметра пойдут в ответ.

Пусть далее $a > 0.$

Изобразим граничные положения.

$−44−20xyIIVO16$

Положение $I$ : окружность касается левой ветви уголка с ветвями вниз.

Уравнение уголка с ветвями вниз — это $| | y = −2||x− 3||+ 9. | 2|$ Левая ветвь задается уравнением при отрицательном раскрытии модуля, то есть $( 3) y = 2 x− 2 + 9= 2x+ 6,$ причем $x≤ −1.$

Расстояние от центра $O(−6;2)$ окружности до прямой $2x − y+ 6= 0$ должно быть равно радиусу окружности:

a |2⋅(−6)− 2+ 6| √- √10-= --∘22-+(−1)2- ⇔ a= 8 2

Положение $IV$ : окружность проходит через точку $(4;4).$

2 2 a2 2 √ -- (4+ 6)+ (4− 2) = 10 ⇔ a = 1040 ⇒ a= 4 65

Нужно еще отдельно определить, где находится точка касания окружности и левой ветви уголка с ветвями вверх: на пунктирной (то есть на несуществующей) части или на существующей.

Уравнение уголка с ветвями вверх — это $|| 3|| y = 2||x− 2||− 1.$ Левая ветвь задается уравнением при отрицательном раскрытии модуля, то есть $( ) y = −2 x − 3 − 1 = −2x+ 2, 2$ причем $x≤ −1.$

Запишем систему, задающую точки пересечения окружности и прямой $y = −2x+ 2:$

( 2 {(x +6)2+ (y − 2)2 =-a ( 10 y = −2x+ 2

Эта система должна иметь единственное решение. Подставим второе уравнение в первое:

2 2 a2 (x+ 6) +(−2x) = 10 2 5x2+ 12x + 36 − a-= 0 (∗) 10

Полученное квадратное уравнение должно иметь одно решение, то есть его дискриминант должен быть равен нулю. Тогда этим решением должна быть абсцисса вершины $x0 = −-12-= −1,2. 2 ⋅5$ Видим, что $x0 < −1,$ следовательно, точка касания находится на существующей части. Тогда на самом деле есть еще два граничных положения:

$−420xyIIII1I$

Положение $II$ : окружность касается существующей части левой ветви уголка с ветвями вверх.

Тогда дискриминант уравнения $(∗)$ равен нулю:

( ) 2 a2 D = 12 − 4 ⋅5 ⋅ 36− 10 = 0 2 √- a = 288 ⇒ a= 12 2

Положение $III$ : окружность проходит через точку $(−1;4).$

2 (−1+ 6)2+ (4 − 2)2 = a10 √ --- a2 = 290 ⇒ a= 290

Тогда для $a> 0$ имеем:

( √- √-) (√ --- √ -) a∈ 8 2;12 2 ∪ 290;4 65

Объединяя с противоположными значениями параметра, окончательно получаем

( √-- √---) ( √ - √-) ( √- √-) (√ --- √ -) a ∈ − 4 65;− 290 ∪ − 12 2;− 8 2 ∪ 8 2;12 2 ∪ 290;4 65 .

Ответ:

$( √ -- √---) ( √- √-) ( √- √-) (√--- √ --) a ∈ − 4 65;− 290 ∪ − 12 2;−8 2 ∪ 8 2;12 2 ∪ 290;4 65$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#111600

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ 2 2 2 (6 − x) + (y+ 6) = (0,5− a)− 2(x+ y+ 1), |x +2|− |1 − 2y|= 3

имеет ровно четыре решения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 6

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение системы:

x2− 12x+ 36+ y2+12y +36 =a2 − a +0,25− 2x− 2y− 2 2 2 2 x◟-−-1◝0◜x+-25◞+11+ y◟-+-14◝◜y+-49◞−13= a − a − 1,75 полныйквадрат полныйквадрат (x − 5)2+ (y+ 7)2 = a2 − a +0,25 2 2 2 (x− 5) +(y+ 7) = (a− 0,5)

Обозначим точку $(5;−7)$ за $O.$

Тогда полученное уравнение при $a ⁄= 0,5$ задает окружность с центром $O$ радиуса $R = |a − 0,5|;$ при $a= 0,5$ задает точку $O.$

Нам необходимо, чтобы исходная система имела ровно четыре решения. Следовательно, каждое уравнение системы должно иметь не менее четырех решений, тогда случай $a = 0,5$ нам точно не подходит.

Далее рассматриваем $a⁄= 0,5.$

Рассмотрим второе уравнение системы. Запишем его в виде:

|2y − 1|= |x+ 2|− 3

Раскроем модуль при $y :$

1.: При $y ≥ 1 2$ получаем: $2y − 1= |x +2|− 3 1 y = 2|x+ 2|− 1 = f+$
2.: При $y < 1 2$ получаем: $−2y+ 1 =|x+ 2|− 3 y = − 1|x + 2|+ 2= f− 2$

Графиком функции $y = f+$ является уголок, ветви которого направлены вверх и имеют наклон $± 1, 2$ а вершина имеет координаты $(−2;−1).$ От этого уголка нужно взять части, находящиеся выше и на прямой $1 y = 2.$

Графиком функции $y = f−$ является уголок, ветви которого направлены вниз и имеют наклон $1 ± 2,$ а вершина имеет координаты $(−2;2).$ От этого уголка нужно взять части, находящиеся ниже прямой $1 y = 2.$

Найдем точки пересечения этих уголков с прямой $y = 1: 2$

|| 1|| |x+ 2|− ||1− 2⋅2||= 3 ⇔ x = −5; 1

Следовательно, это точки $( ) −5; 1 2$ и $( ) 1; 1 . 2$ Получаем такой график второго уравнения исходной системы:

$−100xy,55$

Тогда нужно найти такие значения параметра $a,$ при которых окружность с центром $O (5;− 7)$ и радиусом $|a− 0,5|$ будет иметь с полученным голубым графиком (без пунктира) ровно четыре общие точки.

Изобразим граничные положения.

$−100xyIIO,V55$

Положение $I$ : окружность касается правой ветви уголка с ветвями вниз.

Уравнение уголка с ветвями вниз — это $y = − 1|x+ 2|+2. 2$ Правая ветвь задается уравнением при положительном раскрытии модуля, то есть $y = − 1x − 1 +2 = − 1x + 1, 2 2$ причем $x ≥1.$

Расстояние от центра $O(5;−7)$ окружности до прямой $1 2x+ y− 1= 0$ должно быть равно радиусу окружности:

|| || ||1⋅5+ 1⋅(−7)− 1|| |a − 0,5|= -2∘-(--)-------- ⇔ |a − 0,5|= 1√1- 1 2+ 12 5 2

Положение $IV$ : окружность проходит через точку $(−5;0,5).$

(− 5− 5)2 +(0,5 +7)2 = (a− 0,5)2 (a − 0,5)2 = 156,25 ⇒ |a − 0,5|=12,5

Нужно еще отдельно определить, где находится точка касания окружности и правой ветви уголка с ветвями вверх: на пунктирной (то есть на несуществующей) части или на существующей.

Уравнение уголка с ветвями вверх — это $1 y = 2|x + 2|− 1.$ Правая ветвь задается уравнением при положительном раскрытии модуля, то есть $y = 1(x+ 2)− 1 = 1x, 2 2$ причем $x≥ 1.$

Запишем систему, задающую точки пересечения окружности и прямой $y = 1x: 2$

( 2 2 2 { (x − 5)+ (y+ 7) = (a − 0,5) ( y = 1x 2

Эта система должна иметь единственное решение. Подставим второе уравнение в первое:

2 ( 1 )2 2 (x − 5) + 2x+ 7 = (a− 0,5) 5 4x2− 3x+ 74− (a − 0,5)2 =0 (∗)

Полученное квадратное уравнение должно иметь одно решение, то есть его дискриминант должен быть равен нулю. Тогда этим решением должна быть абсцисса вершины $3 x0 =--5-= 1,2. 2⋅4$ Видим, что $x0 > 1,$ следовательно, точка касания находится на существующей части. Тогда на самом деле есть еще два граничных положения:

$100xyII,5III$

Положение $II$ : окружность касается существующей части правой ветви уголка с ветвями вверх.

Тогда дискриминант уравнения $(∗)$ равен нулю:

D = 32− 4 ⋅ 5⋅(74− (a− 0,5)2) = 0 4 √ - (a− 0,5)2 = 72,2 ⇒ |a− 0,5|= 3,8 5

Положение $III$ : окружность проходит через точку $(1;0,5).$

(1− 5)2+ (0,5+ 7)2 =(a− 0,5)2 2 (a − 0,5) =72,25 ⇒ |a − 0,5|=8,5

Итак, получаем:

– до положения $I$ — нет общих точек;

– положение $I$ — одна общая точка;

– от положения $I$ до положения $II$ — две общие точки;

– положение $II$ — три общие точки;

– от положения $II$ до положения $III$ — четыре общие точки;

– положение $III$ — три общие точки;

– от положения $III$ до положения $IV$ — две общие точки;

– положение $IV$ — три общие точки;

– после положения $IV$ — четыре общие точки.

Таким образом, подходят случаи, когда радиус окружности $√ - 3,8 5< |a− 0,5|< 8,5$ или $|a − 0,5|>12,5.$

Решим первое неравенство:

(| ⌊ √ - ( √- |||| ⌈a− 0,5> 3,8 √5- { |a − 0,5|> 3,8 5 ⇔ { a− 0,5< −3,8 5 ⇔ ( |a − 0,5|< 8,5 ||| a− 0,5 < 8,5 ||( a− 0,5 > −8,5 ( ⌊ √- |||| ⌈a> 0,5+ 3,8√5 |{ a< 0,5− 3,8 5 ( √-) ( √- ) || a< 9 ⇔ a ∈ − 8;0,5− 3,8 5 ∪ 0,5+ 3,8 5;9 |||( a> − 8

Решим второе неравенство:

⌊ ⌊ a − 0,5> 12,5 a > 13 ⌈ ⇔ ⌈ a − 0,5< −12,5 a < −12

Отсюда получаем $a∈ (−∞; −12)∪(13;+∞ ).$

Объединяя решения обоих случаев, получаем:

( √ -) ( √- ) a ∈(−∞; −12)∪ −8;0,5− 3,8 5 ∪ 0,5 +3,8 5;9 ∪ (13;+∞ ).

Ответ:

$( √ -) ( √- ) a ∈(−∞; −12)∪ −8;0,5− 3,8 5 ∪ 0,5+ 3,8 5;9 ∪ (13;+∞ )$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#111601

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система неравенств

{ 2 2 (a− x) + (y +a) ≤ a+ 3, x − y ≤ |3− 2a|

имеет единственное решение.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 7

Показать ответ и решение

Исследуем неравенство

2 2 (a − x) + (y+ a) ≤a +3.

Заметим, что его левая часть неотрицательна, следовательно, $a+ 3≥ 0,$ то есть $a ≥− 3.$ Иначе первое неравенство, а значит, и система не будут иметь решений.

Тогда так как $a+ 3 ≥0,$ то неравенство $(√----)2 (a− x)2+(y +a)2 ≤ a +3$ задает область внутри окружности, включая границу, то есть круг с центром в точке $(a;−a)$ и радиусом $√ ---- a+ 3.$

Преобразуем второе неравенство:

x− y ≤|3− 2a| y ≥ x − |3− 2a|

Такое неравенство задает область над прямой $y = x − |3− 2a|,$ включая эту прямую.

Следовательно, если прямая $y = x− |3− 2a|$ является секущей для окружности $(a − x)2+ (y+ a)2 =a + 3,$ то система неравенств имеет бесконечно число решений — одну из двух областей, на которые прямая делит круг.

Если прямая не имеет общих точек с окружностью, то система либо будет иметь бесконечное число решений (все точки внутри окружности), либо не будет иметь решений вовсе (окружность будет лежать в нижней полуплоскости от прямой).

Тогда одно решение система неравенств может иметь только если первое неравенство задает точку, либо если прямая касается окружности.

Рассмотрим первый случай. Если неравенство задает точку, то $a+ 3= 0,$ иначе оно задает круг ненулевого радиуса, то есть бесконечное количество точек, лежащих внутри заданной окружности.

Тогда $a = −3.$ Значит,

(− 3− x)2 +(y− 3)2 ≤ 0 (x+ 3)2+ (y − 3)2 = 0 { x =− 3 y =3

Проверим, является ли точка $(− 3;3)$ решением второго неравенства при $a = −3:$

−3 − 3 ≤ |3+ 6| − 6≤ 9

Получили верное неравенство. Значит, $a1 = −3$ нам подходит.

Теперь найдем такие значения параметра $a,$ при которых прямая касается окружности. Для этого расстояние от центра $(a;−a)$ окружности до прямой $y = x− |3− 2a|$ должно равняться радиусу $√a-+3$ окружности.

Расстояние от точки $M (x0;y0)$ до прямой $Ax+ By + C = 0$ можно вычислить по формуле

|Ax + By + C| d= ---0√-2--0-2--. A +B

Нам дана точка $(a;−a),$ то есть $x0 = a,$ $y0 =− a,$ и прямая $y = x − |3− 2a|,$ уравнение которой можно переписать в виде $x− y − |3− 2a|=0.$ Тогда $A = 1,$ $B = −1,$ $C = − |3− 2a|.$

Таким образом,

d= |1-⋅a+-(−-1∘)⋅(−-a)+(−-|3−-2a|)|= |2a−-|3√-− 2a||. 12 +(−1)2 2

Тогда можем записать уравнение:

|2a-− |√3−-2a||= √a-+-3 2 4a2+ (3− 2a)2− 4a|3 − 2a| -----------2---------- =a +3 2 2 4a + 9+ 4a − 12a − 4a|3− 2a|=2a +6 8a2− 14a + 3= 4a|3− 2a|

Раскроем модуль. Если $− 3< a< 1,5,$ то получаем

8a2− 14a + 3= 4a|3− 2a| 8a2− 14a+ 3= 12a− 8a2 2 16a − 26a +3 = 0 D = 676 − 4⋅16⋅3= 484= 222 a = 26±-22= 13±-11 32 16 ⌊ 24 |a = 16 = 1,5 ⌈ 2- 1 a = 16 = 8

Так как мы рассматриваем $− 3< a <1,5,$ то $a2 = 1. 8$

Если $a ≥ 1,5,$ то получаем

2 8a − 14a + 3= 4a|3− 2a| 8a2− 14a+ 3= 8a2− 12a 3= 2a a = 1,5

Тогда $a3 =1,5.$

Осталось проверить значения $a2$ и $a3,$ ведь при касании прямой и окружности решением системы неравенств может быть либо весь круг, либо одна его точка.

Для этого достаточно проверить, является ли центр окружности $(a;−a)$ решением неравенства $x− y ≤|3− 2a|.$

Подставим $1 a2 = 8 :$

1 ( 1 ) ||| 2||| 8 − −8 ∨ |3 − 8| 14 ∨ 234 1 < 23 4 4

Точка $(a2;−a2)$ является решением, значит, $a2 = 1 8$ нам не подходит.

Подставим $a3 =1,5:$

1,5− (− 1,5)∨ |3− 2⋅1,5| 3 ∨0 3> 0

Точка $(a3;−a3)$ не является решением, значит, $a3 = 1,5$ нам подходит.

Объединив подходящие значения параметра, окончательно получаем

a∈ {−3;1,5}.

Ответ:

$a ∈{− 3;1,5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#111602

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система неравенств

{ 2 2 (x + 2a) + (a− y) ≤ 5− a, x+ y ≤ |a+ 2|

имеет единственное решение.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 8

Показать ответ и решение

Исследуем неравенство

2 2 (x+ 2a) +(a− y) ≤ 5− a.

Заметим, что его левая часть неотрицательна, следовательно, $5− a≥ 0,$ то есть $a ≤5.$ Иначе первое неравенство, а значит, и система не будут иметь решений.

Тогда так как $5− a≥ 0,$ то неравенство $(√----)2 (x+ 2a)2 +(a− y)2 ≤ 5− a$ задает область внутри окружности, включая границу, то есть круг с центром в точке $(−2a;a)$ и радиусом $√ ---- 5− a.$

Преобразуем второе неравенство:

x + y ≤ |a +2| y ≤ −x + |a+ 2|

Такое неравенство задает область под прямой $y = − x+ |a +2|,$ включая эту прямую.

Следовательно, если прямая $y = −x + |a+ 2|$ является секущей для окружности $(x +2a)2+ (a− y)2 =5 − a,$ то система неравенств имеет бесконечное число решений — одну из двух областей, на которые прямая делит круг.

Если прямая не имеет общих точек с окружностью, то система либо будет иметь бесконечное число решений (все точки внутри окружности), либо не будет иметь решений вовсе (окружность будет лежать в верхней полуплоскости от прямой).

Рассмотрим первый случай. Если неравенство задает точку, то $5− a= 0,$ иначе оно задает круг ненулевого радиуса, то есть бесконечное количество точек, лежащих внутри заданной окружности.

Тогда $a = 5.$ Значит,

(x+ 10)2+ (5− y)2 ≤ 0 (x+ 10)2+ (5− y)2 = 0 { x= −10 y = 5

Проверим, является ли точка $(− 10;5)$ решением второго неравенства при $a = 5:$

− 10+ 5≤ |5 +2| − 5≤ 7

Получили верное неравенство. Значит, $a1 = 5$ нам подходит.

Теперь найдем такие значения параметра $a,$ при которых прямая касается окружности. Для этого расстояние от центра $(− 2a;a)$ окружности до прямой $y = −x+ |a+ 2|$ должно равняться радиусу $√5-−-a$ окружности.

Расстояние от точки $M (x0;y0)$ до прямой $Ax+ By + C = 0$ можно вычислить по формуле

|Ax + By + C| d= ---0√-2--0-2--. A +B

Нам дана точка $(−2a;a),$ то есть $x0 = −2a,$ $y0 =a,$ и прямая $y = −x +|a+ 2|,$ уравнение которой можно переписать в виде $x +y − |a+ 2|= 0.$ Тогда $A = 1,$ $B = 1,$ $C = −|a+ 2|.$

Таким образом,

d= |1⋅(−2a)+√-1⋅a+-(−-|a-+2|)| = |− a-−√ |a+-2||. 12 +12 2

Тогда можем записать уравнение:

|− a-−√ |a+-2||-=√5-−-a 2 a2 +(a+ 2)2+ 2a|a+ 2| ---------2---------= 5− a 2 2 a + a + 4a+ 4+ 2a|a + 2|= 10− 2a 2a2+ 6a− 6+ 2a|a +2|= 0 a2+ 3a− 3+ a|a + 2|= 0

Раскроем модуль. Если $− 2< a< 5,$ то получаем

a2 +3a − 3 +a(a+ 2)= 02a2+ 5a− 3= 0 D = 25+ 24= 49 − 5± 7 a= --4--- ⌊ a= −-12= −3 |⌈ 4 a= 2 = 1 4 2

Так как мы рассматриваем $− 2< a <5,$ то $a2 = 1. 2$

Если $a ≤ −2,$ то получаем

a2+ 3a− 3− a(a + 2) =0 a− 3= 0 a =3

Так как мы рассматриваем $a≤ −2,$ то данное значение не подходит.

Осталось проверить значение $a2,$ ведь при касании прямой и окружности решением системы неравенств может быть либо весь круг, либо одна его точка.

Для этого достаточно проверить, является ли центр окружности $(−2a;a)$ решением неравенства $x+ y ≤|a+ 2|.$

Подставим $1 a2 = 2 :$

1 |||1 ||| −1+ 2 ∨|2 +2| 1 1 −2 ∨2 2 − 1 < 21 2 2

Точка $(− 2a2;a2)$ является решением, значит, $a2 = 1 2$ нам не подходит.

Таким образом, подходит только одно значение параметра:

a= 5.

Ответ:

$a = 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#111603

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

{√----2 ∘----2 a2 + x2 = a +y x + y = 2x+ 2|y|+ 4

имеет ровно два решения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 9

Показать ответ и решение

Заметим, что если какая-то пара $(x0;y0)$ является решением системы уравнений из условия, то и пара $(x0;−y0)$ тоже является решением этой системы, так как $y20 = (−y0)2$ и $|y0|= |− y0|.$

Пусть $y = 0.$ Тогда из первого уравнения системы получаем $x = 0.$ Но пара $x = 0, y = 0$ не является решением второго уравнения, а значит, и всей системы.

Таким образом, будем считать, что $y > 0,$ и будем искать такие значения параметра $a,$ при которых система имеет ровно одно решение.

Заметим, что

(| a+ x2 = a+ y2 { ∘----2 ∘ ----2 { 2 x2 = y2 a +x = a +y ⇔ |( a+ x2≥ 0 ⇔ a+ y2 ≥ 0 a+ y ≥ 0

Тогда исходная система равносильна системе

( |{ x2 = y2 x2+ y2 = 2x+ 2|y|+ 4 |( a+ y2 ≥ 0

Решим систему

{ x2 = y2 x2+ y2 = 2x+ 2|y|+ 4

Далее наложим на неё условие $2 a+ y ≥ 0.$

Преобразуем первое уравнение:

x2 =y2 x = ±y

Преобразуем второе уравнение с учетом $y >0,$ то есть $|y|= y :$

x2+ y2 = 2x +2|y|+ 4 x2+ y2 = 2x+ 2y+ 4 2 2y = 2x+ 2y+ 4 y2 = x+ y+ 2

Рассмотрим два случая: $x =y$ и $x= −y.$

Пусть $x = y.$ Тогда

y2 = x+ y+ 2 y2 = 2y+ 2 2 y − 2y+21= 3 ( (y−) 1() = 3 ) y− 1− √3 y− 1+ √3 = 0 [ √ - y =1 +√ 3 y =1 − 3

Так как мы рассматриваем $y > 0,$ то нам подходит только решение $√- y = 1+ 3.$ Значит, получаем пару $( √ - √-) (x1;y1)= 1 + 3;1+ 3 .$

Пусть $x = −y.$ Тогда

y2 = x+ y+ 2 y2 = −y +y + 2 y2 = 2 [ √ - y = 2√- y = − 2

Так как мы рассматриваем $y > 0,$ то нам подходит только решение $√- y = 3.$ Значит, получаем пару $( √- √ ) (x2;y2)= − 2; 2.$

Мы пришли к тому, что система уравнений

{ x2 = y2 x2+ y2 = 2x+ 2|y|+ 4

имеет ровно два решения при $y > 0,$ но на эти два решения нужно наложить условие $2 a+ y ≥ 0.$

Найдем квадраты решений:

$pict$

Тогда очевидно, что

2 2 a +y1 > a +y2

Значит, если пара $(x2;y2)$ удовлетворяет условию $a +y2 ≥0,$ то и пара $(x1;y1)$ удовлетворяет ему. В таком случае получаем два решения при $y > 0.$ Значит, $a+ y22 < 0.$

С другой стороны, если пара $(x1;y1)$ не удовлетворяет условию $a +y2 ≥0,$ то и пара $(x2;y2)$ не удовлетворяет ему. В таком случае у нас не будет решений при $y > 0.$ Тогда $2 a+ y1 ≥ 0.$

Следовательно,

$pict$

Тогда исходная система имеет ровно два решения при

a∈ [−4 − 2√3;− 2).

Ответ:

$[ √ - ) a ∈ −4 − 2 3;− 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#111604

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ √----2 ∘ ----2 a2+ x2 = a+ y x +y = 4|x|− 4y +16

имеет ровно два решения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 10

Показать ответ и решение

Заметим, что если какая-то пара $(x0;y0)$ является решением системы уравнений из условия, то и пара $(− x0;y0)$ тоже является решением этой системы, так как $x20 =(−x0)2$ и $|x0|= |− x0|.$

Пусть $x = 0.$ Тогда из первого уравнения системы получаем $y = 0.$ Но пара $x = 0, y = 0$ не является решением второго уравнения, а значит, и всей системы.

Таким образом, будем считать, что $x > 0,$ и будем искать такие значения параметра $a,$ при которых система имеет ровно одно решение.

Заметим, что

(| a+ x2 = a+ y2 { ∘----2 ∘ ----2 { 2 x2 = y2 a +x = a +y ⇔ |( a+ x2≥ 0 ⇔ a+ y2 ≥ 0 a+ y ≥ 0

Тогда исходная система равносильна системе

( |{ x2 = y2 x2+ y2 = 4|x|− 4y + 16 |( a+ y2 ≥ 0

Решим систему

{ x2 = y2 x2+y2 = 4|x|− 4y +16

Далее наложим на неё условие $2 a+ y ≥ 0.$

Преобразуем первое уравнение:

x2 =y2 x = ±y

Преобразуем второе уравнение. Так как $x > 0,$ то $|x|= x.$

x2+ y2 = 4x − 4y +16 2y2 = 4x− 4y+ 16 2 y = 2x− 2y+ 8

Рассмотрим два случая: $y =x$ и $y = −x.$

Пусть $y = x.$ Тогда

x2 = 2x− 2x+ 8 x2 = 8 [ √- x = 2 2√ - x = −2 2

Так как мы рассматриваем $x> 0,$ то подходит только решение $x= 2√2.$ Значит, получаем пару $(x1;y1)= (2√2; 2√2-).$

Пусть $y = −x.$ Тогда

2 x = 2x+ 2x+ 8 x2 = 4x+ 8 x2− 4x− 8= 0 √- x = 2± 2 3

Так как мы рассматриваем $x> 0,$ то подходит только решение $x= 2+ 2√3.$ Значит, получаем пару $- - (x2;y2)= (2+ 2√ 3;−2− 2√3).$

Мы пришли к тому, что система уравнений

{ 2 2 x2= y2 x +y = 4|x|− 4y +16

имеет ровно два решения при $x > 0,$ но на эти два решения нужно наложить условие $a+ y2 ≥ 0.$

Найдем квадраты решений:

$pict$

Тогда очевидно, что

a +y22 > a +y21

Значит, если пара $(x1;y1)$ удовлетворяет условию $2 a +y ≥0,$ то и пара $(x2;y2)$ удовлетворяет ему. В таком случае получаем два решения при $x > 0.$ Значит, $2 a+ y1 < 0.$

С другой стороны, если пара $(x2;y2)$ не удовлетворяет условию $2 a +y ≥0,$ то и пара $(x ;y) 1 1$ не удовлетворяет ему. В таком случае у нас не будет решений при $x > 0.$ Тогда $a+ y22 ≥ 0.$

Следовательно,

$pict$

Ответ:

$[ √ - ) a ∈ −16 − 8 3;− 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#73003

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

( { (xy − 3x + 9) ⋅√y-−-3x+-9= 0 ( y = 4x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 11

Показать ответ и решение

Преобразуем систему:

(⌊ (| ⌊ || y = 3− 9 ||||| ⌈x√y-− 3x-+9-= 0 ||||||⌈ x { y− 3x+ 9= 0 { y = 3x− 9 || y− 3x+ 9≥ 0 ⇔ || ||||( |||||y ≥3x − 9 y = 4x+ a (y =4x +a

Заметим, что в первом уравнении совокупности $x = 0$ не является решением, следовательно, можно разделить обе части равенства на $x$ и получить тем самым $y = 3− 9. x$

Назовем множеством $S$ множество точек плоскости $xOy,$ которые лежат на гиперболе $9 y = 3− x$ или на прямой $y = 3x− 9,$ но не ниже прямой $y =3x − 9.$ Для того, чтобы понять, как выглядит множество $S$ на плоскости, нужно найти точки пересечения графиков $y =3 − 9 x$ и $y =3x − 9.$ Для этого нужно решить систему

( ( ( {xy − 3x +9 = 0 {x(3x− 9)− (3x − 9) =0 {(3x− 9)(x− 1)= 0 (y = 3x − 9 ⇔ (y = 3x− 9 ⇔ (y =3x − 9

Получаем точки

⌊({ x= 1 || ||(( y = −6 ||{ x= 3 ⌈( y = 0

Следовательно, множество $S$ на плоскости выглядит следующим образом:

$xy$

Нужно, чтобы прямая $l : y = 4x +a$ имела две точки пересечения со множеством $S.$ Отметим граничные положения прямой $y = 4x +a :$

$xy(1(2(3(4))))$

$(1):$ $l$ проходит через точку $(3;0),$ тогда система имеет 1 решение;
между $(1)$ и $(2):$ система имеет 2 решения;
$(2):$ $l$ проходит через точку $(1;−6),$ тогда система имеет 2 решения;
между $(2)$ и $(3):$ система имеет 3 решения;
$(3):$ $l$ касается нижней части гиперболы, тогда система имеет 2 решения;
между $(3)$ и $(4):$ система имеет 1 решение;
$(4):$ $l$ касается верхней части гиперболы, тогда система имеет 2 решения;
выше $(4):$ система имеет 3 решения.

Определим, при каких $a$ точка $(3;0)$ принадлежит прямой $y = 4x+ a:$

0 =4 ⋅3+ a ⇔ a= −12

Определим, при каких $a$ точка $(1;−6)$ принадлежит прямой $y = 4x+ a:$

− 6= 4⋅1+ a ⇔ a = −10

Определим, при каких $a$ прямая $y = 4x+ a$ касается гиперболы $y = 3− 9. x$ Тогда уравнение

9 4x +a = 3− x

должно иметь одно решение. Следовательно,

2 2 2 4x + (a− 3)x + 9= 0 ⇒ D = (a − 3) − 12 = 0 ⇔ a= − 9;15

Следовательно, ответ

a ∈(−12;−10]∪ {− 9;15}

Ответ:

$a ∈(−12;−10]∪ {− 9;15}$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#111336

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ (xy− 4x + 20)⋅√y-−-4x+-20= 0 y = 5x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 12

Показать ответ и решение

Преобразуем систему:

([ ( ⌊ 20 ||| x√y−-4x+-20= 0 |||| ⌈y =4 − x { y− 4x+ 20= 0 ⇔ { y =4x − 20 |||y− 4x+ 20≥ 0 ||| y ≥ 4x − 20 (y =5x +a |( y = 5x +a

Заметим, что в первом уравнении совокупности $x = 0$ не является решением, следовательно, можно разделить обе части равенства на $x$ и получить тем самым $y = 4− 20. x$

Назовем множеством $S$ множество точек плоскости $xOy,$ которые лежат на гиперболе $y = 4− 20 x$ или на прямой $y = 4x− 20,$ но не ниже прямой $y = 4x − 20.$ Для того, чтобы понять, как выглядит множество $S$ на плоскости, нужно найти точки пересечения графиков $20 y =4 − x-$ и $y = 4x − 20.$ Для этого нужно решить систему

{ { { xy− 4x +20 =0 ⇔ x(4x− 20)− (4x− 20)= 0 ⇔ (4x− 20)(x − 1)= 0 y =4x − 20 y = 4x− 20 y = 4x − 20

Получаем точки

⌊ { | x = 1 || {y = −16 |⌈ x = 5 y = 0

Следовательно, множество $S$ на плоскости выглядит следующим образом:

$xy$

Нужно, чтобы прямая $l : y = 5x +a$ имела две точки пересечения со множеством $S.$ Отметим граничные положения прямой $y = 5x +a :$

$xy(1(2(3(4))))$

$(1):$ $l$ проходит через точку $(5;0),$ тогда система имеет 1 решение;
между $(1)$ и $(2):$ система имеет 2 решения;
$(2):$ $l$ проходит через точку $(1;−16),$ тогда система имеет 2 решения;
между $(2)$ и $(3):$ система имеет 3 решения;
$(3):$ $l$ касается нижней части гиперболы, тогда система имеет 2 решения;
между $(3)$ и $(4):$ система имеет 1 решение;
$(4):$ $l$ касается верхней части гиперболы, тогда система имеет 2 решения;
выше $(4):$ система имеет 3 решения.

Определим, при каких $a$ точка $(5;0)$ принадлежит прямой $y = 5x+ a:$

0 =5 ⋅5+ a ⇔ a= −25

Определим, при каких $a$ точка $(1;−16)$ принадлежит прямой $y = 5x+ a:$

−16 = 5⋅1+ a ⇔ a= − 21

Определим, при каких $a$ прямая $y = 5x+ a$ касается гиперболы $20 y = 4− x-.$ Тогда должно иметь одно решение уравнение

20 5x+ a= 4− x

Следовательно,

2 2 2 5x + (a− 4)x + 20= 0 ⇒ D = (a − 4) − 20 = 0 ⇔ a= − 16;24

Следовательно, ответ

a∈ (−25;−21]∪{−16;24}

Ответ:

$a ∈(−25;−21]∪ {− 16;24}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#73004

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

( { x2+ y2 = |1,6a| ( 2 y = ax− a

имеет ровно два различных решения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 13

Показать ответ и решение

Система имеет два решения, если уравнение

x2+ (ax − a2)2 = |1,6a|

имеет два решения. Преобразуем это уравнение:

(1 +a2)x2− 2a3x + (a4− 1,6|a|)= 0

Его дискриминант должен быть больше нуля:

D = − 4(a4− 1,6a2|a|− 1,6|a|)> 0 ⇔ a4− 1,6a2|a|− 1,6|a|< 0

Пусть $b =|a|≥ 0,$ тогда неравенство примет вид

4 3 b − 1,6b − 1,6b < 0

Рассмотрим случай $b =0.$ Тогда $D = 0.$ Следовательно, этот случай нам не подходит. Значит, $b >0.$ Тогда можно разделить обе части неравенства на $b >0$ и получим

b3− 1,6b2− 1,6< 0

Рассмотрим функцию $3 2 f(b)= b − 1,6b − 1,6.$ Найдем ее производную:

16 f ′(b) = b(3b− 3,2) ⇒ f′ = 0 ⇔ b =0; 15

Получаем, что производная имеет следующие знаки на промежутках, образованных ее нулями:

$01+−+f6′(b): 15$

Следовательно, так как $f(0)= − 1,6,$ а $( ) f 1165 < f(0)< 0,$ то график функции $f(b)$ выглядит схематично следующим образом:

$16 b01b50$

Следовательно, существует единственная точка $b= b0,$ в которой $f (b0)= 0,$ и тогда решением неравенства $f(b) <0$ будет промежуток $0< b< b0.$ Подбором с учетом $b0 > 1615-$ находим $b0 = 2.$ Следовательно, решением неравенства $f(b)< 0$ будут $0 < b< 2.$ То есть

0< |a|< 2 ⇔ a ∈(− 2;0)∪ (0;2)

Ответ:

$a ∈(−2;0)∪ (0;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#111337

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

{x2 + y2 = |2,7a| y = a(x− a)

имеет ровно два различных решения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 14

Показать ответ и решение

Система имеет два решения, если имеет два решения уравнение

2 22 x + (ax− a) = |2,7a|

Преобразуем это уравнение:

2 2 3 4 (1+ a)x − 2a x+ (a − 2,7|a|) = 0

Его дискриминант должен быть больше нуля:

D = −4(a4− 2,7a2|a|− 2,7|a|)> 0 ⇔ a4− 2,7a2|a|− 2,7|a|<0

Пусть $b =|a|≥ 0,$ тогда неравенство примет вид

4 3 b − 2,7b − 2,7b< 0

Рассмотрим случай $b =0.$ Тогда $D = 0.$ Следовательно, этот случай нам не подходит. Значит, $b >0.$ Тогда можно разделить обе части неравенства на $b> 0 :$

b3 − 2,7b2− 2,7< 0

Рассмотрим функцию $f(b)= b3− 2,7b2− 2,7.$ Найдем ее производную:

′ ′ 9 f (b)= b(3b − 5,4) ⇒ f =0 ⇔ b= 0;5

Получаем, что производная имеет следующие знаки на промежутках, образованных ее нулями:

$095+−+f′(b):$

Следовательно, так как $f(0)= − 2,7,$ а $( ) f 95 < f(0)< 0,$ то график функции $f(b)$ выглядит схематично следующим образом:

$b095b0$

Следовательно, существует единственная точка $b= b0,$ в которой $f (b0)= 0,$ и тогда решением неравенства $f(b) <0$ будет промежуток $0< b< b0.$ Подбором с учетом $9 b0 > 5$ находим $b0 =3.$ Следовательно, решением неравенства $f(b)< 0$ будут $0 < b< 3.$ То есть

0< |a|< 3 ⇔ a ∈(− 3;0)∪ (0;3)

Ответ:

$a ∈(−3;0)∪ (0;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#73005

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

( |{ (|x+-4|+-|x−-4| )2 ( |y+-1|+-|y−-1|- )2 2 − 1 + 2 − 5 = 25 |( y = ax− 8a

имеет ровно два различных решения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 15

Показать ответ и решение

Сделаем замену

( ||t= |x+-4|+|x−-4| { 2 ||( |y+-1|+-|y−-1|- z = 2

Графиком функции $t= t(x)$ является «корыто»:

$xtt14−14 =4t(x)$

Графиком функции $z = z(y)$ является «корыто»:

$yzz11−1 =1 z(y)$

Таким образом, имеем

( |||{− x, x< − 4 (1,0) t= 4,−4 ≤x ≤ 4 (2,0) |||( x, x> 4 (3,0)

( |||{− y, y <− 1 (0,1) z = 1,−1 ≤ y ≤ 1 (0,2) |||( y, y > 1 (0,3)

Следовательно, получаем на плоскости $xOy$ девять областей, на которые прямые $x= ±4$ и $y = ±1$ разбивают эту плоскость:

$xy(((((((((123123123,1,1,1,2,2,2,3,3,3)))))))))$

Рассмотрим первое уравнение в каждой из этих областей:

(1,3):: $x< −4,$ $y > 1.$ Тогда
$2 2 2 2 (− x− 1) +(y− 5) = 25 ⇔ (x+ 1) +(y− 5) = 25$
(2,3):: $− 4≤ x≤ 4,$ $y > 1.$ Тогда
$2 2 (4− 1) + (y− 5) = 25 ⇔ y = 1;9$
(3,3):: $x> 4,$ $y >1.$ Тогда
$2 2 (x− 1)+ (y− 5) = 25$
(1,2):: $x< −4,$ $− 1≤ y ≤ 1.$ Тогда
$2 2 (− x− 1)+ (1− 5) = 25 ⇔ x= −4;2$
(2,2):: $− 4≤ x≤ 4,$ $− 1≤ y ≤ 1.$ Тогда
$(4− 1)2+ (1− 5)2 = 25 ⇔ 25 = 25$
(3,2):: $x> 4,$ $− 1 ≤y ≤ 1.$ Тогда
$(x− 1)2+(1− 5)2 = 25 ⇔ x= − 2;4$
(1,1):: $x< −4,$ $y < −1.$ Тогда
$(−x − 1)2+ (− y− 5)2 = 25 ⇔ (x + 1)2+ (y+ 5)2 =25$
(2,1):: $− 4≤ x≤ 4,$ $y < −1.$ Тогда
$(4− 1)2+ (−y− 5)2 = 25 ⇔ y = − 9;− 1$
(3,1):: $x> 4,$ $y <− 1.$ Тогда
$(x− 1)2+ (−y − 5)2+ 25 ⇔ (x− 1)2+ (y+ 5)2 = 25$

Таким образом, график первого уравнения таков:

$xy$

Заметим, что второе уравнение исходной системы можно записать в виде

y = a(x − 8)

Следовательно, графиком этого уравнение при всех $a$ является пучок прямых, проходящих через точку $(8,0).$ Изобразим граничные положения прямой $y = a(x − 8):$

$xyIIIIIIVI$

Тогда нам подходят $a∈ (aI;aII]∪[aIII;aIV).$

I:

прямая $y = a(x− 8)$ касается части окружности $(x− 1)2+ (y − 5)2 = 25.$ Следовательно, расстояние от центра этой окружности до прямой $ax − y − 8a = 0$ равно радиусу этой окружности:

∘ ----- |a√− 52− 8a|= 5 ⇔ 5 a2+ 1= |7a+ 5| ⇔ a = 0;− 3152 a +1

Следовательно,

aI =− 35 12

II:

прямая $y =a(x− 8)$ проходит через точку $(4;1):$

1= 4a− 8a ⇔ a = − 1 II 4

III:

прямая $y =a(x− 8)$ проходит через точку $(4;−1) :$

1 − 1= 4a− 8a ⇔ aIII = 4

IV:

прямая $y = a(x− 8)$ касается части окружности $(x− 1)2+ (y +5)2 = 25.$ Следовательно, расстояние от центра этой окружности до прямой $ax − y − 8a = 0$ равно радиусу этой окружности:

|a+√-5−-8a|= 5 ⇔ 5∘a2-+-1= |7a − 5| ⇔ a= 0; 35 a2+ 1 12

Следовательно,

35 aIV = 12

Получаем ответ

( 35 1] [1 35) a∈ − 12;− 4 ∪ 4;12

Ответ:

$( ] [ ) a ∈ − 35;− 1 ∪ 1; 35 12 4 4 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#111339

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

(|( |x − 1|+ |x+ 1| )2 (|y− 7|+ |y+ 7| )2 { ------2------− 7 + ------2------+ 1 = 100 |(y = ax+ 8

имеет ровно два различных решения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 16

Показать ответ и решение

Сделаем замену

(| |x− 1|+|x+ 1| |{t= ------2------ || |y− 7|+ |y+ 7| (z = -----2-------

Графиком функции $t= t(x)$ является «корыто»:

$xtt1−1 =1t(x)$

Графиком функции $z = z(y)$ является «корыто»:

$yzz71−17 =7 z(y)$

Функция $t= t(x)$ имеет вид

( |{− x, x< −1 (1,0) t= |1,− 1≤ x≤ 1 (2,0) (x, x > 1 (3,0)

Функция $z = z(y)$ имеет вид

( |{− y, y < −7 (0,1) z = 7,− 7≤ y ≤ 7 (0,2) |(y, y > 7 (0,3)

Следовательно, получаем девять областей, на которые прямые $x= ±1$ и $y = ±7$ разбивают плоскость $xOy :$

$xy(((((((((123123123,,,,,,,,,1)1)1)2)2)2)3)3)3)$

Рассмотрим первое уравнение в каждой из этих областей:

(1,3):: $x< −1,$ $y > 7.$ Тогда
$(−x− 7)2+ (y +1)2 = 100 ⇔ (x+ 7)2 +(y+ 1)2 = 100$
(2,3):: $− 1≤ x≤ 1,$ $y > 7.$ Тогда
$2 2 (1 − 7) + (y+ 1) =100 ⇔ y = −9;7$
(3,3):: $x> 1,$ $y >7.$ Тогда
$(x − 7)2+ (y + 1)2 = 100$
(1,2):: $x< −1,$ $− 7≤ y ≤ 7.$ Тогда
$(−x− 7)2+ (7 +1)2 = 100 ⇔ x= − 13;− 1$
(2,2):: $− 1≤ x≤ 1,$ $− 7≤ y ≤ 7.$ Тогда
$(1 − 7)2+ (7 + 1)2 = 100 ⇔ 100= 100$
(3,2):: $x> 1,$ $− 7 ≤y ≤ 7.$ Тогда
$(x− 7)2 +(7+ 1)2 = 100 ⇔ x= 1;13$
(1,1):: $x< −1,$ $y < −7.$ Тогда
$(−x − 7)2+ (−y+ 1)2 = 100 ⇔ (x + 7)2+ (y− 1)2 =100$
(2,1):: $− 1≤ x≤ 1,$ $y < −7.$ Тогда
$(1− 7)2 +(−y +1)2 = 100 ⇔ y = − 7;9$
(3,1):: $x> 1,$ $y <− 7.$ Тогда
$(x− 7)2+ (−y +1)2 = 100 ⇔ (x− 7)2 +(y− 1)2 = 100$

Таким образом, график первого уравнения таков:

$xy$

Графиком уравнения $y = ax+ 8$ при всех $a$ является пучок прямых, проходящих через точку $(0,8).$ Изобразим граничные положения прямой $y = ax + 8:$

$xyIIIVIIII$

Тогда нам подходят $a∈ [aI;aII)∪(aIII;aIV ].$

I.: Прямая $y = ax+ 8$ проходит через точку $(1;7):$ $7 =a ⋅1+ 8 ⇔ aI = −1$
II.: Прямая $y = ax+ 8$ касается части окружности $(x + 7)2+ (y+ 1)2 = 100.$ Следовательно, расстояние от центра этой окружности до прямой $ax− y+ 8= 0$ равно радиусу этой окружности: $|−-7a+-1+-8| ∘ -2--- −63-±10√30- √a2-+-1 = 10 ⇔ 10 a + 1= |− 7a+ 9| ⇔ a= 51$
Следовательно,
$√-- 10-30-− 63 aII = 51$
III.: Прямая $y = ax+ 8$ касается части окружности $(x − 7)2+ (y+ 1)2 = 100.$ Следовательно, расстояние от центра этой окружности до прямой $ax− y+ 8= 0$ равно радиусу этой окружности: $|7a +1 +8| ∘ ----- 63 ±10√30- -√--2----= 10 ⇔ 10 a2+ 1= |7a +9| ⇔ a= ---51---- a + 1$
Следовательно,
$√ -- aIII = 63-− 10-30 51$
IV.: Прямая $y = ax+ 8$ проходит через точку $(− 1;7) :$ $7= a⋅(−1)+ 8 ⇔ aIV = 1$
Получаем ответ
$[ 10√30− 63) ( 63− 10√30 ] a∈ −1;----51---- ∪ ---51----;1$

Ответ:

$[ √ -- ) ( √ -- ] a ∈ − 1; 10-30−-63 ∪ 63-− 10-30 ;1 51 51$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#73006

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

∘8-−-2x−-x2+ 2+ a= a|x|

имеет ровно один корень.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 17

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

( ∘ --------- {y = √8−-2x−-x2 8− 2x − x2 =a|x|− a − 2 ⇔ ( y = a|x|− a− 2

Полученная система должна иметь единственное решение $(x;y).$

Заметим, что первое уравнение системы задает верхнюю полуокружность с центром в точке $(−1;0)$ и радиусом $R = 3:$

( {(x+ 1)2+ y2 = 9 ( y ≥ 0

Второе уравнение задает «уголок», вершина которого движется по оси $Oy$ . Ордината вершины уголка равна $y0 = −(a+ 2).$ При $a> 0$ ветви уголка направлены вверх, а $y0 <− 2;$ при $a< 0$ ветви уголка направлены вниз, а $y0 > − 2;$ при $a = 0$ уголок вырождается в горизонтальную прямую, а $y0 = − 2.$

Необходимо, чтобы уголок с полуокружностью имели ровно одну точку пересечения.

Изобразим возможные положения уголка относительно полуокружности, при которых они имеют ровно одну точку пересечения, а также граничные положения уголка.

$xy(((ABC123)))$

Координаты точек $A(−4;0),$ $B(2,0),$ $√- C(0;2 2).$ Описание случаев:

(1): Уголок проходит через точку $A$
(2): Уголок проходит через точку $B$
(3): Уголок проходит через точку $C$

Также есть случай (4), когда уголок может касаться полуокружности.

Случай 1:

2 0 =4a − a − 2 ⇔ a= 3

Случай 2:

0 = 2a − a− 2 ⇔ a= 2

Тогда при $[2 ) a∈ 3;2$ уголок имеет с полуокружностью ровно одну точку пересечения.

Случай 3:

√- √- 2 2 = −a− 2 ⇔ a = −2 2 − 2

При этом $a$ уголок имеет одну точку пересечения с полуокружностью.

Случай 4. Уголок может касаться полуокружности левой ветвью или правой ветвью. Рассмотрим эти случаи по отдельности.

Левая ветвь. Тогда $x < 0.$ Уравнение левой ветви выглядит следующим образом: $ax+ y+ a+ 2= 0.$ Если она касается полуокружности, то расстояние от центра $O (− 1;0)$ полуокружности до этой ветви равно радиусу $R = 3$ полуокружности:

|−-a+-0+-a+-2| √ a2+ 1 = 3 ∘----- 3 a2+ 1 =2 a2 = − 5 9

Это уравнение не имеет решений, следовательно, этот случай невозможен.

Правая ветвь. Тогда $x > 0.$ Уравнение правой ветви выглядит следующим образом: $ax− y− a− 2= 0.$ Если она касается полуокружности, то расстояние от центра $O (− 1;0)$ полуокружности до этой ветви равно радиусу $R = 3$ полуокружности:

|−-a√+-0−-a−-2|= 3 a2+ 1 ∘----- 3 a2+ 1 =2|a+ 1| 5a2− 8a +5 = 0

Это уравнение не имеет решений, так как дискриминант отрицателен, следовательно, этот случай невозможен.

Значит, исходное уравнение имеет ровно один корень при

√ - [ 2 ) a∈ {−2 2− 2}∪ 3;2 .

Ответ:

$[ ) a ∈{− 2− 2√2}∪ 2;2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#111341

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

∘3x-+-18−-x2− 2a= a|x|+ 1

имеет ровно один корень.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 18

Показать ответ и решение

Запишем уравнение в виде

∘ ---------2 3x+ 18− x = 2a+ a|x|+ 1

Рассмотрим систему

{ √---------2 y = 3x +18 − x y = a|x|+ 2a+ 1

Тогда чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, полученная система должна иметь единственное решение $(x;y).$

Заметим, что первое уравнение системы задает верхнюю полуокружность с центром в точке $(1,5;0)$ и радиусом $R = 4,5:$

{ 2 2 2 (x − 1,5)+ y = 4,5 y ≥ 0

Второе уравнение при $a ⁄= 0$ задает «уголок», вершина которого движется по оси $Oy$ . Ордината вершины уголка равна $y = 2a +1. 0$ При $a > 0$ ветви уголка направлены вверх, а $y0 > 1.$ При $a < 0$ ветви уголка направлены вниз, а $y0 <1.$ При $a =0$ получаем горизонтальную прямую $y = 1.$

Необходимо, чтобы уголок с полуокружностью имели ровно одну точку пересечения.

$xy(((ABC123)))$

Координаты точек $A(−3;0),$ $B(6,0),$ $√- C(0;3 2).$ Опишем граничные случаи.

: (1) Левая ветвь $y = −ax + 2a + 1$ уголка проходит через точку $A.$
: (2) Правая ветвь $y = ax +2a+ 1$ уголка проходит через точку $B.$
: (3) Вершина уголка совпадает с точкой $C.$

Также есть случай (4), когда уголок может касаться полуокружности.

Случай (1):

0= 3a+ 2a+ 1 ⇔ a = − 1 5

Случай (2):

1 0= 6a+ 2a+ 1 ⇔ a = −8

Тогда при $[ ) a∈ − 1;− 1 5 8$ уголок имеет с полуокружностью ровно одну точку пересечения.

Случай (3):

√- 3√2 − 1 3 2 =2a +1 ⇔ a= ---2---

При этом $a$ уголок имеет одну точку пересечения с полуокружностью.

Случай (4). Уголок может касаться полуокружности левой ветвью или правой ветвью. Рассмотрим эти случаи по отдельности.

Левая ветвь. Тогда $x < 0.$ Уравнение левой ветви выглядит следующим образом: $ax+ y− 2a− 1= 0.$ Если она касается полуокружности, то расстояние от центра $O(1,5;0)$ полуокружности до этой ветви равно радиусу $R = 4,5$ полуокружности:

$pict$

Это уравнение не имеет решений, так как дискриминант отрицателен. Следовательно, этот случай невозможен.

Правая ветвь. Тогда $x > 0.$ Уравнение правой ветви выглядит следующим образом: $ax− y+ 2a+ 1= 0.$ Если она касается полуокружности, то расстояние от центра $O(1,5;0)$ полуокружности до этой ветви равно радиусу $R = 4,5$ полуокружности:

$pict$

Это уравнение не имеет решений, так как дискриминант отрицателен. Следовательно, этот случай невозможен.

Значит, исходное уравнение имеет ровно один корень при

[ ) { √ - } a ∈ − 1;− 1 ∪ 3--2−-1 . 5 8 2

Ответ:

$[ ) { √ - } a ∈ − 1;− 1 ∪ 3--2−-1 5 8 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#111605

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

∘ --------2- 15 − 2x − x = 3a|x|+ a− 3ax − x

имеет ровно один корень.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 19

Показать ответ и решение

Введем новую неизвестную $y$ и получим систему

{ √---------2 y = 15 − 2x − x y = 3a|x|+ a− 3ax− x

Тогда нам нужно найти $a,$ при которых графики функций, задаваемых первым и вторым уравнением полученной системы, имеют ровно одну точку пересечения.

Рассмотрим первое уравнение:

{ 2 2 { 2 2 y + x + 2x+ 1= 15+ 1 ⇔ (x +1) + y = 16 y ≥ 0 y ≥ 0

Оно задает верхнюю полуокружность с центром $O (− 1;0)$ радиуса 4.

$−3−40xy51$

Рассмотрим второе уравнение:

{ a− x,x ≥ 0 y = 3a|x|+ a− 3ax− x= a− (6a +1)x,x< 0

Оно задает ломаную, состоящую из двух лучей, стык которых происходит в точке $A (0;a).$ Следовательно, при изменении $a$ от $− ∞$ до $+ ∞$ точка $A$ движется по оси $y$ снизу вверх.

$− (6a+ 1)≥ 0 ⇔ a≤ − 1 6$

$0xyA$

$− (6a+ 1)= 0 ⇔ a =− 1 6$

$0xyA$

$− (6a+ 1)< 0 ⇔ a >− 1 6$

$0xyA$

Заметим, что правая ветка ломаной всегда имеет наклон $− 1,$ а вот наклон левой ветки меняется от $− ∞$ до $+ ∞$ при изменении $a.$

Так как голубой график находится в верхней полуплоскости, а ломаная при $1 a ≤− 6$ — в нижней, то общих точек они не будут иметь. Следовательно, рассматриваем только случай $a> − 1. 6$

Граничные случаи:

$−−340xyIII15III$

Положение $I:$ левая ветка ломаной проходит через точку $(− 5;0).$

Подставим координаты точки $(−5;0)$ в уравнение левой ветки ломаной $y = a− (6a +1)x:$

5 0= a− (6a +1)(−5) ⇔ a= − 31

Положение $II:$ Правая ветка проходит через точку $(3;0).$

Подставим координаты точки $(3;0)$ в уравнение правой ветки ломаной $y = a− x:$

0 = a− 3 ⇔ a= 3

Положение $III:$ Правая ветка касается полуокружности.

Найдем $a,$ при которых прямая $y = a− x$ касается окружности $(x+ 1)2+ y2 = 16.$

Расстояние от центра $(−1;0)$ окружности до прямой $x +y − a = 0$ должно быть равно радиусу окружности:

4 = |−√ 1-+0-− a| ⇔ |a+ 1|= 4√2 ⇔ a =− 1± 4√2 12+ 12

Нужно выбрать бОльшее значение параметра $a,$ так как касание окружности происходит сверху, то есть нам подходит $a = −1+ 4√2$

До положения 1 — нет общих точек.

Положение 1 — одна общая точка.

От положения 1 до положения 2 — одна общая точка.

Положение 2 — две общих точки.

От положения 2 до положения 3 — две общих точки.

Положение 3 — одна общая точка.

После положения 3 — нет общих точек.

Итоговый ответ:

[ ) a ∈ − 5-;3 ∪ {−1+ 4√2} 31

Ответ:

$[ ) a ∈ − 5-;3 ∪ {−1+ 4√2} 31$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#111606

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ 2 2 (|x− 1|+ |x +1|− 4) +(|y− 1|+ |y+ 1|− 2) = 4 ay = x+ 5

имеет одно или два решения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 20

Показать ответ и решение

Сделаем замену

({ t= |x− 1|+|x+ 1| (z = |y− 1|+ |y+ 1|

Тогда имеем

(|{− 2x, x < −1 (1,0) t= 2,− 1≤ x≤ 1 (2,0) |(2x, x >1 (3,0)

( (0,1) |{− 2y, y < −1 z = |(2,− 1≤ y ≤ 1 (0,2) 2y, y >1 (0,3)

Следовательно, получаем на плоскости $xOy$ девять областей, на которые прямые $x= ±1$ и $y = ±1$ разбивают эту плоскость:

$xy(((((((((1,2,3,1,2,3,1,2,3,111222333)))))))))$

Рассмотрим первое уравнение в каждой из этих областей:

(1,3):

$x< −1,$ $y > 1.$ Тогда

(− 2x− 4)2 +(2y− 2)2 = 4 2 2 4(x+ 2) + 4(y − 1) = 4 (x+ 2)2+ (y − 1)2 = 1

(2,3):

$− 1≤ x≤ 1,$ $y > 1.$ Тогда

(2− 4)2+ (2y− 2)2 = 4 2 (2y− 2) =0 y =1

(3,3):

$x> 1,$ $y >1.$ Тогда

(2x− 4)2+ (2y − 2)2 = 4 2 2 4(x− 2) + 4(y − 1) = 4 (x− 2)2+ (y − 1)2 = 1

(1,2):

$x< −1,$ $− 1≤ y ≤ 1.$ Тогда

(−2x − 4)2+ (2 − 2)2 = 4 2 4(x+ 2) =4 (x+ 2)2 = 1 ⇔ x= −3;−1

(2,2):

$− 1≤ x≤ 1,$ $− 1≤ y ≤ 1.$ Тогда

(2− 4)2+ (2 − 2)2 = 4 4= 4

Так как в этом случае равенство выполнено для любых $x$ и $y,$ получаем всю область, заданную условиями $− 1≤ x ≤ 1$ и $− 1≤ y ≤ 1.$

(3,2):

$x> 1,$ $− 1 ≤y ≤ 1.$ Тогда

(2x − 4)2+ (2− 2)2 = 4 2 4(x− 2) =4 (x− 2)2 = 1 ⇔ x =1;3

(1,1):

$x< −1,$ $y < −1.$ Тогда

2 2 (−2x− 4) + (− 2y− 2) =4 4(x+ 2)2+ 4(y +1)2 = 4 (x+ 2)2+ (y +1)2 = 1

(2,1):

$− 1≤ x≤ 1,$ $y < −1.$ Тогда

2 2 (2− 4) +(− 2y − 2) = 4 4(y+ 1)2 =0 (y +1)2 = 0 ⇔ y =− 1

(3,1):

$x> 1,$ $y <− 1.$ Тогда

2 2 (2x − 4) + (−2y− 2) = 4 4(x− 2)2+ 4(y +1)2 = 4 (x− 2)2+ (y +1)2 = 1

Таким образом, график первого уравнения таков:

$xy−−−1 331$

Рассмотрим второе уравнение исходной системы. При $a= 0$ оно задает прямую $x =− 5,$ которая не пересекает график первого уравнения, поэтому $a =0$ нам не подходит. Далее будем рассматривать $a⁄= 0.$

Преобразуем второе уравнение исходной системы:

1 y = a(x + 5)

Пусть $p = 1. a$ Графиком этого уравнение при всех $p$ является пучок прямых, проходящих через точку $(−5,0).$ Изобразим граничные положения этих прямых:

$xy−−−1−IIIIVVIIVI3315I$

I:: прямая $y = p(x+ 5)$ касается части окружности $2 2 (x +2) + (y+ 1) =1.$ Следовательно, расстояние от центра этой окружности до прямой $px − y +5p = 0$ равно радиусу этой окружности: $|(−2)⋅p-+∘(−1)⋅(−1)+-5p|= 1 p2+ 1 ∘p2-+1-= |3p+ 1| p2+ 1= 9p2+ 6p+ 1 2 3 8p + 6p= 0 ⇔ p = 0;− 4$
Так как при $p= 0$ горизонтальная прямая $y = 0$ очевидно не касается синего графика, то получаем:
$3 pI = −4$
II:: прямая $y = p(x+ 5)$ касается части окружности $(x − 2)2+ (y+ 1)2 =1.$ Следовательно, расстояние от центра этой окружности до прямой $px − y +5p = 0$ равно радиусу этой окружности: $|2⋅p+-(∘−1)⋅(−1)+-5p| =1 p2+ 1 ∘p2-+1-= |7p+ 1| p2+ 1= 49p2+ 14p +1 2 -7 48p + 14p = 0 ⇔ p= 0;−24$
Так как при $p= 0$ горизонтальная прямая $y = 0$ очевидно не касается синего графика, то получаем:
$-7 pII = −24$
III:: прямая $y =p(x+ 5)$ проходит через точку $(− 1;− 1):$ $− 1= p⋅(−1+ 5) ⇔ pIII =− 1 4$
IV:: прямая $y =p(x+ 5)$ проходит через точку $(− 1;1):$ $1 1= p⋅(−1+ 5) ⇔ pIV = 4$
V:: прямая $y = p(x+ 5)$ касается части окружности $(x − 2)2+ (y− 1)2 =1.$ Следовательно, расстояние от центра этой окружности до прямой $px − y +5p = 0$ равно радиусу этой окружности: $|2⋅p-+∘1-⋅(−-1)+-5p|= 1 p2+ 1 ∘ -2--- p +1 = |7p− 1| p2+ 1= 49p2− 14p +1 2 7 48p − 14p= 0 ⇔ p = 0;24-$
Так как при $p= 0$ горизонтальная прямая $y = 0$ очевидно не касается синего графика, то получаем:
$7 pV = 24-$
VI:: прямая $y = p(x+ 5)$ касается части окружности $(x +2)2+ (y− 1)2 =1.$ Следовательно, расстояние от центра этой окружности до прямой $px − y +5p = 0$ равно радиусу этой окружности: $|(−-2)⋅p∘+-1⋅(−1)+-5p| =1 p2+ 1 ∘p2-+1-= |3p− 1| p2+ 1= 9p2− 6p+ 1 2 3 8p − 6p= 0 ⇔ p= 0;4$
Так как при $p= 0$ горизонтальная прямая $y = 0$ очевидно не касается синего графика, то получаем:
$3 pVI = 4$