18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Будем решать задачу графически в системе координат

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно равносильно системе:

Уравнение данной системы задает параболу, ветви которой направлены вверх, вершина находится в точке Неравенство говорит нам о том, что от параболы нужно взять только правую ветвь, включая вершину.

Найдем точки пересечения параболы с осью

Следовательно, получаем точки и

Рассмотрим первое уравнение системы. Раскроем модуль при

1.

При получаем:

2.

При получаем:

Графики функций и — уголки, ветви которых параллельны прямым и

— уголок с ветвями вверх, вершина находится в точке от которого нужно взять часть из верхней полуплоскости (включая точки на оси ).

— уголок с ветвями вниз, вершина находится в точке от которого нужно взять часть из нижней полуплоскости.

Рассмотрим по отдельности случаи, когда выше совпадает с и ниже

1.

выше при то есть при

Полученный график и есть график уравнения при

2.

совпадает с при то есть при

Полученный график и есть график уравнения при

3.

ниже при то есть при

Полученный график и есть график уравнения при (пунктир в него не входит).

Изобразим графики первого и второго уравнений при разных значениях параметра в одной системе координат.

1.

Если получаем:

При изменении от до точка движется вверх, точка движется вниз.

Уголок с вершиной всегда имеет ровно одну точку пересечения с голубым графиком.

Уголок с вершиной имеет ровно одну точку пересечения с голубым графиком вплоть до момента, пока правая ветвь уголка не пройдет через точку

Положение при прямая проходит через

Следовательно, нам подходят все

2.

Если получаем:

При изменении от до точка движется вниз, точка движется вверх.

Левые ветви обоих уголков не имеют общих точек с голубым графиком.

Правые ветви обоих уголков имеют по одной общей точке с голубым графиком до момента, пока «стык» этих ветвей не пройдет через точку

Положение при точка совпадает с точкой

Следовательно, нам подходят все

Объединив все подходящие значения параметра, получаем