18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Система имеет два решения, если имеет два решения уравнение

Преобразуем это уравнение:

Его дискриминант должен быть больше нуля:

Пусть тогда неравенство примет вид

Рассмотрим случай Тогда Следовательно, этот случай нам не подходит. Значит, Тогда можно разделить обе части неравенства на

Рассмотрим функцию Найдем ее производную:

Получаем, что производная имеет следующие знаки на промежутках, образованных ее нулями:

Следовательно, так как а то график функции выглядит схематично следующим образом:

Следовательно, существует единственная точка в которой и тогда решением неравенства будет промежуток Подбором с учетом находим Следовательно, решением неравенства будут То есть