18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Запишем уравнение в виде

Рассмотрим систему

Тогда чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, полученная система должна иметь единственное решение

Заметим, что первое уравнение системы задает верхнюю полуокружность с центром в точке и радиусом

Второе уравнение при задает «уголок», вершина которого движется по оси . Ордината вершины уголка равна При ветви уголка направлены вверх, а При ветви уголка направлены вниз, а При получаем горизонтальную прямую

Необходимо, чтобы уголок с полуокружностью имели ровно одну точку пересечения.

Изобразим возможные положения уголка относительно полуокружности, при которых они имеют ровно одну точку пересечения, а также граничные положения уголка.

Координаты точек Опишем граничные случаи.

(1) Левая ветвь уголка проходит через точку

(2) Правая ветвь уголка проходит через точку

(3) Вершина уголка совпадает с точкой

Также есть случай (4), когда уголок может касаться полуокружности.

Случай (1):

Случай (2):

Тогда при уголок имеет с полуокружностью ровно одну точку пересечения.

Случай (3):

При этом уголок имеет одну точку пересечения с полуокружностью.

Случай (4). Уголок может касаться полуокружности левой ветвью или правой ветвью. Рассмотрим эти случаи по отдельности.

Левая ветвь. Тогда Уравнение левой ветви выглядит следующим образом: Если она касается полуокружности, то расстояние от центра полуокружности до этой ветви равно радиусу полуокружности:

Это уравнение не имеет решений, так как дискриминант отрицателен. Следовательно, этот случай невозможен.

Правая ветвь. Тогда Уравнение правой ветви выглядит следующим образом: Если она касается полуокружности, то расстояние от центра полуокружности до этой ветви равно радиусу полуокружности:

Это уравнение не имеет решений, так как дискриминант отрицателен. Следовательно, этот случай невозможен.

Значит, исходное уравнение имеет ровно один корень при