18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Сделаем замену Тогда система примет вид

Заметим, что числу не соответствует ни одного числу соответствует ровно один числу соответствует ровно два Также заметим, что каждому соответствует ровно один Следовательно, исходная система будет иметь ровно четыре решения, если новая система будет иметь решения, причем ровно два из них имеют вид с а у остальных решений координата отрицательна.

Так как то из системы получаем, что

Следовательно, систему можно переписать в виде

Тогда по обратной теореме Виета получаем, что числа и являются корнями квадратного уравнения

Следовательно, система имеет два решения, если дискриминант полученного квадратного уравнения положителен. Найдем этот дискриминант:

Следовательно, система имеет два решения и Эти решения симметричны в силу симметричности системы Нам нужно, чтобы Тогда и то есть произведение корней и сумма корней квадратного уравнения должны быть отрицательны:

Пересечем эти значения параметра с условием и окончательно получим